預備知識

堆排序

　　堆排序是利用堆這種數據結構而設計的一種排序算法，堆排序是一種選擇排序，它的最壞，最好，平均時間復雜度均為O(nlogn)，它也是不穩定排序。首先簡單了解下堆結構。

堆

　　堆是具有以下性質的完全二叉樹：每個結點的值都大於或等於其左右孩子結點的值，稱為大頂堆；或者每個結點的值都小於或等於其左右孩子結點的值，稱為小頂堆。如下圖：

同時，我們對堆中的結點按層進行編號，將這種邏輯結構映射到數組中就是下面這個樣子

該數組從邏輯上講就是一個堆結構，我們用簡單的公式來描述一下堆的定義就是：

大頂堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]

小頂堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]

ok，了解了這些定義。接下來，我們來看看堆排序的基本思想及基本步驟：

堆排序基本思想及步驟

　　堆排序的基本思想是：將待排序序列構造成一個大頂堆，此時，整個序列的最大值就是堆頂的根節點。將其與末尾元素進行交換，此時末尾就為最大值。然后將剩余n-1個元素重新構造成一個堆，這樣會得到n個元素的次小值。如此反復執行，便能得到一個有序序列了

步驟一構造初始堆。將給定無序序列構造成一個大頂堆（一般升序采用大頂堆，降序采用小頂堆)。

　　a.假設給定無序序列結構如下

2.此時我們從最后一個非葉子結點開始（葉結點自然不用調整，第一個非葉子結點 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6結點），從左至右，從下至上進行調整。

4.找到第二個非葉節點4，由於[4,9,8]中9元素最大，4和9交換。

這時，交換導致了子根[4,5,6]結構混亂，繼續調整，[4,5,6]中6最大，交換4和6。

此時，我們就將一個無需序列構造成了一個大頂堆。

步驟二將堆頂元素與末尾元素進行交換，使末尾元素最大。然后繼續調整堆，再將堆頂元素與末尾元素交換，得到第二大元素。如此反復進行交換、重建、交換。

a.將堆頂元素9和末尾元素4進行交換

b.重新調整結構，使其繼續滿足堆定義

c.再將堆頂元素8與末尾元素5進行交換，得到第二大元素8.

后續過程，繼續進行調整，交換，如此反復進行，最終使得整個序列有序

再簡單總結下堆排序的基本思路：

　　a.將無需序列構建成一個堆，根據升序降序需求選擇大頂堆或小頂堆;

　　b.將堆頂元素與末尾元素交換，將最大元素"沉"到數組末端;

　　c.重新調整結構，使其滿足堆定義，然后繼續交換堆頂元素與當前末尾元素，反復執行調整+交換步驟，直到整個序列有序。

代碼實現

  1 #include <iostream>
  2 using namespace std;
  3 /*
  4  * (最大)堆的向下調整算法
  5  *
  6  * 注：數組實現的堆中，第N個節點的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
  7  *     其中，N為數組下標索引值，如數組中第1個數對應的N為0。
  8  *
  9  * 參數說明：
 10  *     a -- 待排序的數組
 11  *     start -- 被下調節點的起始位置(一般為0，表示從第1個開始)
 12  *     end   -- 截至范圍(一般為數組中最后一個元素的索引)
 13  */
 14 void maxHeapDown(int* a, int start, int end)
 15 {
 16     int c = start;            // 當前(current)節點的位置
 17     int l = 2*c + 1;        // 左(left)孩子的位置
 18     int tmp = a[c];            // 當前(current)節點的大小
 19     for (; l <= end; c=l,l=2*l+1)
 20     {
 21         // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
 22         if ( l < end && a[l] < a[l+1])
 23             l++;        // 左右兩孩子中選擇較大者，即m_heap[l+1]
 24         if (tmp >= a[l])
 25             break;        // 調整結束
 26         else            // 交換值
 27         {
 28             a[c] = a[l];
 29             a[l]= tmp;
 30         }
 31     }
 32 }
 33 
 34 /*
 35  * 堆排序(從小到大)
 36  *
 37  * 參數說明：
 38  *     a -- 待排序的數組
 39  *     n -- 數組的長度
 40  */
 41 void heapSortAsc(int* a, int n)
 42 {
 43     int i,tmp;
 44 
 45     // 從(n/2-1) --> 0逐次遍歷。遍歷之后，得到的數組實際上是一個(最大)二叉堆。
 46     for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
 47         maxHeapDown(a, i, n-1);
 48 
 49     // 從最后一個元素開始對序列進行調整，不斷的縮小調整的范圍直到第一個元素
 50     for (i = n - 1; i > 0; i--)
 51     {
 52         // 交換a[0]和a[i]。交換后，a[i]是a[0...i]中最大的。
 53         tmp = a[0];
 54         a[0] = a[i];
 55         a[i] = tmp;
 56         // 調整a[0...i-1]，使得a[0...i-1]仍然是一個最大堆。
 57         // 即，保證a[i-1]是a[0...i-1]中的最大值。
 58         maxHeapDown(a, 0, i-1);
 59     }
 60 }
 61 
 62 /*
 63  * (最小)堆的向下調整算法
 64  *
 65  * 注：數組實現的堆中，第N個節點的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 66  *     其中，N為數組下標索引值，如數組中第1個數對應的N為0。
 67  *
 68  * 參數說明：
 69  *     a -- 待排序的數組
 70  *     start -- 被下調節點的起始位置(一般為0，表示從第1個開始)
 71  *     end   -- 截至范圍(一般為數組中最后一個元素的索引)
 72  */
 73 void minHeapDown(int* a, int start, int end)
 74 {
 75     int c = start;            // 當前(current)節點的位置
 76     int l = 2*c + 1;        // 左(left)孩子的位置
 77     int tmp = a[c];            // 當前(current)節點的大小
 78     for (; l <= end; c=l,l=2*l+1)
 79     {
 80         // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
 81         if ( l < end && a[l] > a[l+1])
 82             l++;        // 左右兩孩子中選擇較小者
 83         if (tmp <= a[l])
 84             break;        // 調整結束
 85         else            // 交換值
 86         {
 87             a[c] = a[l];
 88             a[l]= tmp;
 89         }
 90     }
 91 }
 92 
 93 /*
 94  * 堆排序(從大到小)
 95  *
 96  * 參數說明：
 97  *     a -- 待排序的數組
 98  *     n -- 數組的長度
 99  */
100 void heapSortDesc(int* a, int n)
101 {
102     int i,tmp;
103     // 從(n/2-1) --> 0逐次遍歷每。遍歷之后，得到的數組實際上是一個最小堆。
104     for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
105         minHeapDown(a, i, n-1);
106     // 從最后一個元素開始對序列進行調整，不斷的縮小調整的范圍直到第一個元素
107     for (i = n - 1; i > 0; i--)
108     {
109         // 交換a[0]和a[i]。交換后，a[i]是a[0...i]中最小的。
110         tmp = a[0];
111         a[0] = a[i];
112         a[i] = tmp;
113         // 調整a[0...i-1]，使得a[0...i-1]仍然是一個最小堆。
114         // 即，保證a[i-1]是a[0...i-1]中的最小值。
115         minHeapDown(a, 0, i-1);
116     }
117 }
118 
119 int main()
120 {
121     int i;
122     int a[] = {20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80};
123     int ilen = (sizeof(a)) / (sizeof(a[0]));
124     cout << "before sort:";
125     for (i=0; i<ilen; i++)
126         cout << a[i] << " ";
127     cout << endl;
128     heapSortAsc(a, ilen);            // 升序排列
129     //heapSortDesc(a, ilen);        // 降序排列
130     cout << "after  sort:";
131     for (i=0; i<ilen; i++)
132         cout << a[i] << " ";
133     cout << endl;
134     return 0;
135 }

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