float浮點數的二進制存儲方式及轉換

int和float都是4字節32位表示形式。為什么float的范圍大於int？

float精度為6～7位。1.66*10^10的數字結果並不是166 0000 0000 指數越大，誤差越大。

這些問題，都是浮點數的存儲方式造成的。  

 

    float和double在存儲方式上都是遵從IEEE的規范的，float遵從的是IEEE R32.24 ,而double 遵從的是R64.53。

    無論是單精度還是雙精度在存儲中都分為三個部分：

1. 符號位(Sign) : 0代表正，1代表為負
2. 指數位（Exponent）:用於存儲科學計數法中的指數數據，並且采用移位存儲
3. 尾數部分（Mantissa）：尾數部分

其中float的存儲方式如下圖所示：

 

而雙精度的存儲方式為:

   將一個float型轉化為內存存儲格式的步驟為：
     （1）先將這個實數的絕對值化為二進制格式。 
     （2）將這個二進制格式實數的小數點左移或右移n位，直到小數點移動到第一個有效數字的右邊。 
     （3）從小數點右邊第一位開始數出二十三位數字放入第22到第0位。 
     （4）如果實數是正的，則在第31位放入“0”，否則放入“1”。 
     （5）如果n 是左移得到的，說明指數是正的，第30位放入“1”。如果n是右移得到的或n=0，則第30位放入“0”。 
     （6）如果n是左移得到的，則將n減去1后化為二進制，並在左邊加“0”補足七位，放入第29到第23位。
         如果n是右移得到的或n=0，則將n化為二進制后在左邊加“0”補足七位，再各位求反，再放入第29到第23位。

  R32.24和R64.53的存儲方式都是用科學計數法來存儲數據的，比如8.25用十進制的科學計數法表示就為:8.25*,而120.5可以表示為:1.205*,計算機根本不認識十進制的數據，他只認識0，1，所以在計算機存儲中，首先要將上面的數更改為二進制的科學計數法表示，8.25用二進制表示可表示為1000.01,120.5用二進制表示為：1110110.1用二進制的科學計數法表示1000.01可以表示為1.0001*,1110110.1可以表示為1.1101101*,任何一個數都的科學計數法表示都為1.xxx*,尾數部分就可以表示為xxxx,第一位都是1嘛，干嘛還要表示呀？可以將小數點前面的1省略，所以23bit的尾數部分，可以表示的精度卻變成了24bit，道理就是在這里，那24bit能精確到小數點后幾位呢，我們知道9的二進制表示為1001，所以4bit能精確十進制中的1位小數點，24bit就能使float能精確到小數點后6位，而對於指數部分，因為指數可正可負，8位的指數位能表示的指數范圍就應該為:-127-128了，所以指數部分的存儲采用移位存儲，存儲的數據為元數據+127，下面就看看8.25和120.5在內存中真正的存儲方式。

     首先看下8.25，用二進制的科學計數法表示為:1.0001*

按照上面的存儲方式，符號位為:0，表示為正，指數位為:3+127=130 ,位數部分為,故8.25的存儲方式如下圖所示:

而單精度浮點數120.5的存儲方式如下圖所示:

將一個內存存儲的float二進制格式轉化為十進制的步驟： 
     （1）將第22位到第0位的二進制數寫出來，在最左邊補一位“1”，得到二十四位有效數字。將小數點點在最左邊那個“1”的右邊。 
     （2）取出第29到第23位所表示的值n。當30位是“0”時將n各位求反。當30位是“1”時將n增1。 
     （3）將小數點左移n位（當30位是“0”時）或右移n位（當30位是“1”時），得到一個二進制表示的實數。 
     （4）將這個二進制實數化為十進制，並根據第31位是“0”還是“1”加上正號或負號即可。

那么如果給出內存中一段數據，並且告訴你是單精度存儲的話，你如何知道該數據的十進制數值呢？其實就是對上面的反推過程，比如給出如下內存數據：0100001011101101000000000000，首先我們現將該數據分段，0 10000 0101 110 1101 0000 0000 0000 0000，在內存中的存儲就為下圖所示：

根據我們的計算方式，可以計算出，這樣一組數據表示為:1.1101101*=120.5

而雙精度浮點數的存儲和單精度的存儲大同小異，不同的是指數部分和尾數部分的位數。所以這里不再詳細的介紹雙精度的存儲方式了，只將120.5的最后存儲方式圖給出，大家可以仔細想想為何是這樣子的

下面我就這個基礎知識點來解決一個我們的一個疑惑，請看下面一段程序，注意觀察輸出結果

            float f = 2.2f;
            double d = (double)f;
            Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));
            f = 2.25f;
            d = (double)f;
            Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));

可能輸出的結果讓大家疑惑不解，單精度的2.2轉換為雙精度后，精確到小數點后13位后變為了2.2000000476837，而單精度的2.25轉換為雙精度后，變為了2.2500000000000，為何2.2在轉換后的數值更改了而2.25卻沒有更改呢？很奇怪吧？其實通過上面關於兩種存儲結果的介紹，我們已經大概能找到答案。首先我們看看2.25的單精度存儲方式，很簡單 0 1000 0001 001 0000 0000 0000 0000 0000,而2.25的雙精度表示為:0 100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000,這樣2.25在進行強制轉換的時候，數值是不會變的，而我們再看看2.2呢，2.2用科學計數法表示應該為：將十進制的小數轉換為二進制的小數的方法為將小數*2，取整數部分，所以0.282=0.4，所以二進制小數第一位為0.4的整數部分0，0.4×2=0.8，第二位為0,0.8*2=1.6,第三位為1，0.6×2 = 1.2，第四位為1，0.2*2=0.4，第五位為0，這樣永遠也不可能乘到=1.0，得到的二進制是一個無限循環的排列 00110011001100110011... ,對於單精度數據來說，尾數只能表示24bit的精度，所以2.2的float存儲為:

但是這樣存儲方式，換算成十進制的值，卻不會是2.2的，應為十進制在轉換為二進制的時候可能會不准確，如2.2，而double類型的數據也存在同樣的問題，所以在浮點數表示中會產生些許的誤差，在單精度轉換為雙精度的時候，也會存在誤差的問題，對於能夠用二進制表示的十進制數據，如2.25，這個誤差就會不存在，所以會出現上面比較奇怪的輸出結果。

 

 

附注：

小數的二進制表示問題
       首先我們要搞清楚下面兩個問題：
     (1)  十進制整數如何轉化為二進制數
           算法很簡單。舉個例子，11表示成二進制數：
                     11/2=5   余   1
                       5/2=2   余   1
                       2/2=1   余   0
                       1/2=0   余   1
                          0結束         11二進制表示為(從下往上):1011
          這里提一點：只要遇到除以后的結果為0了就結束了，大家想一想，所有的整數除以2是不是一定能夠最終得到0。
          換句話說，所有的整數轉變為二進制數的算法會不會無限循環下去呢？絕對不會，整數永遠可以用二進制精確表示 ，但小數就不一定了。
      (2) 十進制小數如何轉化為二進制數
           算法是乘以2直到沒有了小數為止。舉個例子，0.9表示成二進制數
                     0.9*2=1.8   取整數部分  1
                     0.8(1.8的小數部分)*2=1.6    取整數部分  1
                     0.6*2=1.2   取整數部分  1
                     0.2*2=0.4   取整數部分  0
                     0.4*2=0.8   取整數部分  0
                     0.8*2=1.6   取整數部分  1
                     0.6*2=1.2   取整數部分  0
                              .........      0.9二進制表示為(從上往下): 1100100100100......
           注意：上面的計算過程循環了，也就是說*2永遠不可能消滅小數部分，這樣算法將無限下去。很顯然，小數的二進制表示有時是不可能精確的 。
                其實道理很簡單，十進制系統中能不能准確表示出1/3呢？同樣二進制系統也無法准確表示1/10。這也就解釋了為什么浮點型減法出現了"減不盡"的精度丟失問題。