將計數結果或者某個特殊數列的信息，呈現在一個函數關系式中，我們稱之為生成函數，如這個名字，我們本質上討論的是一個函數解析式，但是這個解析式以一個無窮級數的形式蘊藏着某個計數數列。
目前來看對於給出的這個“生成函數”的新定義，我們似乎看不到有什么很好的用處，但是隨着問題的深入，它的作用便會呈現出來，例如在求解Catalan數的非齊次遞推關系的時候就用到了生成函數的概念。
例子1：
在一些問題中，我們借助生成函數的概念，通過其他的運算定理，將一個∑形式的生成函數轉化成其他的形式然后進行函數層次上的操作，能夠使得我們處理問題站在一個新的視角。
例子2：
例子3：
什么樣的數列的生成函數是如下式子？
例子4：確定蘋果、香蕉、橘子和梨的n組合個數，其中每個n組合蘋果的個數是偶數，香蕉的個數是奇數，橘子的個數是0到4之間，而且至少有一個梨.
例子5：
求裝有蘋果、香蕉、橘子和梨的果籃的可能數h(n),其中每個果籃中蘋果數是偶數，香蕉數是5的倍數，橘子樹最多有4個，而梨的個數是0或1.
這種形式雖然給出了線性遞推關系，但是各項系數不全為常數，下面我們引入一種求解線性常系數遞推關系的通解求法。
這一定理的作用在於：能夠將需要O(n)時間復雜度求解的的數列，在O(logn)得到。
Ex2：
一串由a、b、c組成的通信文字的長度為n，要求通信文字中不能夠有連續兩個a出現，那么請問共有多少種情況？
呼應其一開始我們給出的結論：求解遞推關系為了更快的計算序列中的某項h[n]，對比1、2兩個例題我們發現，如果就編程計算而言，Ex1用這種方法是很好的，因為最終的形式比較的簡單不含根號。而Ex2的形式如果交給計算機計算，就顯得有些丑陋。例如斐波那契數列，利用該定理求得的解也帶有根號，此時為了簡化求得數列中某一項的時間復雜度，我們就要去尋求其他的方法(例如矩陣快速冪)。