約瑟夫環：遞歸算法（唐伯虎點秋香）

約瑟夫環：遞歸算法

 

 

 

 

假設下標從0開始，0，1，2 .. m-1共m個人，從1開始報數，報到k則此人從環出退出，問最后剩下的一個人的編號是多少？

現在假設m=10

0 1 2 3  4 5 6 7 8 9    k=3

第一個人出列后的序列為：

0 1 3 4 5 6 7 8 9

即:

3 4 5 6 7 8 9 0 1（*）

我們把該式轉化為:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 (**)

則你會發現: （(**)+3）%10則轉化為(*)式了

也就是說，我們求出9個人中第9次出環的編號，最后進行上面的轉換就能得到10個人第10次出環的編號了 

設f(m,k,i)為m個人的環，報數為k，第i個人出環的編號，則f(10,3,10)是我們要的結果

當i=1時，  f(m,k,i) = (m+k-1)%m

當i!=1時，  f(m,k,i)= ( f(m-1,k,i-1)+k )%m

所以程序如下：

int fun(int m,int k,int i){
 
    if(i==1)
        return (m+k-1)%m;
    else
        return (fun(m-1,k,i-1)+k)%m;
 
}
int main(int argc, char* argv[])
{
     
    for(int i=1;i<=10;i++)
        printf("第%2d次出環：%2d\n",i,fun(10,3,i));
    return 0;
}

 

第 1次出環： 2
第 2次出環： 5
第 3次出環： 8
第 4次出環： 1
第 5次出環： 6
第 6次出環： 0
第 7次出環： 7
第 8次出環： 4
第 9次出環： 9
第10次出環： 3

　

    數學解（提供思路）：

　

 

 參考C#做法（據說不是很好）

常用算法(C#): 約瑟夫環問題
約瑟夫環問題: 設有n個人圍坐在圓桌周圍，現從某個位置m（1≤m≤n）上的人開始報數，報數到k的人就站出來。
繼續下一個人，即原來的第k+1個位置上的人，又從1開始報數，再報數到k的人站出來。依此重復下去，直到全部的人都站出來為止
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Text;
namespace ExJose
{
    class ClassJose    {
        //從第start人開始計數，以alter為單位循環記數出列，總人數為total 
        public int[] Jose(int total, int start,int alter)
        {
            int j, k = 0;
            //count數組存儲按出列順序的數據，以當結果返回 
            int[] count = new int[total + 1];
            //s數組存儲初始數據 
            int[] s = new int[total + 1];
            //對數組s賦初值,第一個人序號為0,第二人為1，依此下去
            for (int i = 0; i < total; i++)
            {
                s[i] = i;
            }
            //按出列次序依次存於數組count中 
            for (int i = total; i >= 2; i--)
            {
                start = (start + alter - 1) % i;
                if (start == 0)
                    start = i;
                count[k] = s[start];
                k++;
                for (j = start + 1; j <= i; j++)
                    s[j - 1] = s[j];
            }
            count[k] = s[1];
            //結果返回 
            return count;
        }
        static void Main(string[] args)
        {
            ClassJose    e=new ClassJose     ();
            int[] a = e.Jose(10,3,4);
            for (int i = 0; i < a.Length; i++)
            {
                Console.WriteLine(a[i].ToString ());
            }
        }
    }
}