基本概念
在定義一個函數時，出現調用自身函數的，稱為遞歸(recursion)。
如果一個遞歸函數，最后一條語句是遞歸調用語句，則稱這種遞歸調用為尾遞歸(tail recursion)。
一個遞歸模型通常有兩部分構成：初值（遞歸出口）和遞歸體。
遞歸的使用條件
遞歸的數學定義，比如斐波那契數列：F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n−1)+F(n−2),n≥3F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n−1)+F(n−2),n≥3。
遞歸的數據結構，出現了指向自身的指針或者引用，如鏈表、樹、圖等。
遞歸的求解方法。比如經典的漢諾塔問題。
遞歸函數的時間空間
求解遞歸函數的時間通常需要根據問題解出相應的遞歸式。
對於形如歸並排序的分治算法，其遞歸式通常形如T(n)=aT(bn)+f(n)T(n)=aT(bn)+f(n)，通常可以使用主定理（《算法導論》 p53）來求解。
一般情況的遞歸算法的時間分析可能比較困難，需要詳細了解遞歸的執行過程。比如動態規划法和暴力算法都可以使用遞歸，但是他們的時間復雜度有顯著差異。
遞歸的空間復雜度除了要考慮分配的臨時變量之外，還需要考慮遞歸的深度（雖然使用的是棧空間，也要將其計算在內。）
遞歸程序非遞歸化
對於遞歸的實現機理，需要理解現代CPU的棧幀模型。棧幀保存了當前函數狀態的相關信息。當函數調用另一個函數時，它將保存臨時變量等信息，同時為被調用的函數開辟另一個幀。因此遞歸函數調用，每一層是不會相互影響的。
通常情況下遞歸是由編譯器自動實現，然而系統的棧空間是固定的，對於遞歸深度較大的情況，可能會出現棧溢出(stack overflow)，因此這時候必須用棧的數據結構手動模擬棧幀，來實現遞歸程序非遞歸化。具體操作來說，就是在原來遞歸出現之前，利用棧保存前一層的環境，然后切換到下一層；在原來遞歸返回到調用函數時，將棧頂元素出棧，得到被保存的環境。
一個例子可以參考之前第3章綜合練習的一道題目字符串解碼(Decode String)。
需要注意的是，編譯器在自動實現遞歸的過程中，它能夠自動將傳值的參數進行恢復，但是不能將傳地址（引用）的參數（尤其是定義在全局變量、堆空間的）進行恢復。這種情況下，需要手動將其恢復。這個問題可以思考DFS遍歷迷宮時，用int [][]和vector<vector<int>>的異同：因為vector是一個類對象，每次自我調用的壓棧都會將其復制一份，在返回時出棧也要調用析構函數銷毀。這樣保證了每次使用的vector<int>都是相互獨立的，自然不需要手動恢復。而int [][]則是直接傳地址，在一個地方修改了，其他地方也是修改的。雖然使用vector<vector<int>>能夠省去恢復的麻煩，但是其反復復制元素造成的效率問題也是不容忽視的。
遞歸算法的一般設計步驟
對於一般的遞歸問題，通常需要先轉化成一個包含有初始狀態和遞推狀態的模型。
遞歸一般是將較復雜的大問題，利用遞推關系轉化為一個或者多個相對較小的問題。直到最后每個子問題都滿足初始條件（達到遞歸出口）。
對於遞歸定義問題的求解，直接利用定義進行遞推就可以了。某些較為復雜的，非簡單的數學問題，就需要抽象出遞推關系。
抽象遞推關系也是非常重要的，動態規划算法就是基於遞推關系來確定最優解的。
如何具體設計遞歸算法，包括簡單的回溯法(back-tracking)、動態規划算法(dynamic programming)，會在習題里結合具體的例子說明。
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作者：_g63
來源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/jsxyg63/article/details/78306061
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