最近在LeetCode 上刷題，遇到一個非常有趣的題目，題目的大概意思就是在不使用運算符的情況下實現兩個數的加法。。。原題點這里》》》
說實話，剛看到這題目，我是一臉懵逼的。
后來仔細想想，如果不能用運算符，那肯定是用原始方法了（位運算）。
后來，的確也證明我的想法是正確的。不過還是有種思路沒想到，是參考了網上的。
在這里，我就來說說我所知道的兩個方案。方法low，大牛可以點擊右上角的×了。。。
注：以下討論均基於整數之間的四則運算！部分來自網絡~
【加法】
方案一（推薦）：
此方法參照計算機的二進制計算
分兩步：
一：先進行沒有進位的加法運算。可用 a^b;
二：處理進位信息。a&b 可得到進位的位置信息，然后左移一位，就是兩數相加后的進位信息了。所以可以用 (a & b) << 1;
然后就是把前面得到的沒有進位的和加上進位信息了，直到進位為0為止。因此代碼可以這么寫：
public static int GetSum(int a, int b) { if (b == 0) { return a; } int sum = a ^ b; int carry = (a & b) << 1; int result = GetSum(sum, carry); return result; }
方案二：
此方案在C#中不常使用。將利用指針的偏移來進行加法運算。
先上代碼：
unsafe public static int GetSum_Point(int a, int b) { unsafe { byte* c = (byte*)a; int d = (int)&c[b]; return d; } }
此處附上C#在VS2015中使用指針的方法（傳送門）
例如a=5,b=10
c=(byte*) a,此時c的地址為0x00000005
c[b] 就是c的地址偏移sizeof(byte)*b
最終得到了c[b]的地址就是0x0000000f，即通過int強制轉換得到15 。
【減法】
按理來說，只要加法解決了，后面的運算都是小菜一碟了。本着思考的態度，我們還是要想想怎么用位運算來實現減法。
總的來說還是有兩個方案實現的，以下依次來說說。
方案一：
原理其實也是參考計算機計算減法的操作。
這里需要用到一個叫“補碼”的東西，不懂的同學點這里》》》
我們都知道兩個數的減法可以當作一個正數和一個負數的加法。照這個思路，我們可以這么寫：
public static int GetMargin(int a, int b)
{
return GetSum(a, GetSum(~b, 1));
}
方案二：
此方案和【加法】中的方案一類似。都是二進制的計算
我們分以下幾步來看：（以a - b為例）
1.如果b 的值為0，那么結果顯而易見就是a 了。
2.b 不為0 的情況下，我們仍然先不考慮借位，先將被減數和減數同為1 的位置去掉。
第一步，找出減數和被減數同為1 的位置。可使用 sameNum = a&b; 來實現；
第二步，分別將被減數和減數同為1 的位置去掉1 ，這里可以用 a ^= sameNum; b ^= sameNum;
3.此時，減數和被減數相同位只存在以下三種情況：
-
- 被減數：0 ；減數： 0；差：0；
- 被減數：0 ；減數： 1；差：1；
- 被減數：1 ；減數： 0；差：1；
4.通過對被減數、減數和差的分析，很容易就能知道差值應該是被減數和減數的按位或的結果。於是我們便有：a | b 得到臨時的結果;
5.此時再考慮借位問題。很明顯只有在減數為1的情況下，被減數與之對應的左一位才會出現借位，於是借位便可以用 b << 1 ; 來表示。
6.再把臨時結果減去借位，直到借位為0 ，得到的結果便是最終的結果了。綜上，代碼如下：
public static int GetMargin(int a, int b) { while (b != 0) { // 去掉被減數和減數中同為1的位 int sameNum = a & b; a ^= sameNum; b ^= sameNum; // 此時，a 和 b 不存在同時為1 的位 // 0 - 1 和 1 - 0 都為1 a |= b; // 得到相減的臨時結果（不考慮借位） b = b << 1; // 減數為1 時，必有借位 } return a; }
【乘法】
1.先考慮正整數之間的乘法運算。
在二進制中，每向左移動一次，都相當於原始數乘以2。而每個數據都可以寫成k0×20+k1×21+...+km×2m的形式。因此我們可以得到以下式子：
a x b = ax20xk0 + ax21xk1 + .... + ax2mxkm 其中ki = {0, 1};
因此我們可以很容易寫出以下代碼：
public static int GetProduct(int a, int b) { // 1.先只考慮正整數的相乘 int result = 0; for (int bits = 1; bits != 0; bits <<= 1) { if ((bits & b) != 0) { result = GetSum(result, a); } a <<= 1; } return result; }
2.接下來，開始考慮正負號的情況（考慮溢出的情況）。
這里有個簡單的辦法，直接判斷a、b和0 的關系來判斷正負。本着學習的態度（耳熟😀），我們不使用這種方法。
我們都知道，在計算機中數據都是以補碼的數據存儲的，其中正數和負數的區別便是最高位是否為1；（負數的補碼最高位為1）
於是，我們便可以引入一個輔助函數，來幫助判斷。
public static int maxNumFlag() { int bitsOfByte = 8; int maxNum = 0x80; int tmp = maxNum; while (tmp != 0) { maxNum = tmp; tmp <<= bitsOfByte; } return maxNum; }
完善后的代碼如下所示：
public static int GetProduct(int a, int b) { // 1.先只考慮正整數的相乘 // 2.考慮正負情況和溢出問題 int maxNum = maxNumFlag(); int flag_a = 1; if ((maxNum & a) != 0) { flag_a = 0; // 負數 a = GetSum(~a, 1); } int flag_b = 1; if ((maxNum & b) != 0) { flag_b = 0; b = GetSum(~b, 1); } int result = 0; for (int bits = 1; bits != 0; bits <<= 1) { if ((bits & b) != 0) { result = GetSum(result, a); if ((result & maxNum) != 0 || (a & maxNum) != 0) { throw new Exception("數據過大！"); } } a <<= 1; } return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? result : GetSum(~result, 1); }
【除法】
看到除法，就想起了減法運算，然后想到一個比較簡單的思路和實現方法。后來發現網上還有一種方法，思路相同又不同。貼上來，大家看看~
方案一：
除法沒有溢出，但是有其他的限定條件，比如除數不能為“0”。
這里先說下除法和減法之間的關系。以97÷23=4（余5）為例：
也就是 97-23×4=5
：=》97-23-23-23-23=5.
於是，有以下代碼：
public static int GetQuotient(int a, int b) { /*方法一*/ if (b == 0) { throw new Exception("除數不能為0！！"); } int maxNum = maxNumFlag(); int flag_a = 1; if ((maxNum & a) != 0) { flag_a = 0; // 負數 a = GetSum(~a, 1); } int flag_b = 1; if ((maxNum & b) != 0) { flag_b = 0; b = GetSum(~b, 1); } int index = 1; int tmp = GetMargin(a, b); if (tmp < 0) { return 0; } while (tmp >= b) { tmp = GetMargin(tmp, b); // 最后一次循環后的tmp 便是a/b 的余數 index = GetSum(index, 1); } return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? index : GetSum(~index, 1); }
方案二：
方案二的大體思路如下：
- 預備工作：置商為0；
- 判斷“被除數>=除數 ”是否成立：
成立，繼續步驟3；
不成立，被除數的值賦給余數，計算結束。 - 備份除數，並設置商分子（一個臨時變量，最終需加到商上面，故暫且如此命名）為1；
對商分子和除數同步向左移位，直到繼續移位將大於被除數時為止； - 從被除數上減去除數，並將商加上商分子。
- 通過備份的除數值還原除數，跳轉到步驟2繼續執行。
個人還是覺得這樣比較難理解，但是因為我們這討論的是位運算，所以還是貼出來，研究研究。
直接上代碼：
public static int GetQuotient(int a, int b) { /*方法二*/ if (b == 0) { throw new Exception("除數不能為0！！"); } int maxNum = maxNumFlag(); int flag_a = 1; if ((maxNum & a) != 0) { flag_a = 0; // 負數 a = GetSum(~a, 1); } int flag_b = 1; if ((maxNum & b) != 0) { flag_b = 0; b = GetSum(~b, 1); } int quotient = 0; int backupB = b; while (a >= b) { int tempB = b << 1; int tempQ = 1; while ((tempB <= a) && ((tempB & maxNumFlag()) == 0)) { b = tempB; tempQ <<= 1; tempB <<= 1; } a = GetMargin(a, b); quotient |= tempQ; b = backupB; } if (((maxNum & a) != 0) && (a != 0)) { quotient = GetSum(quotient, 1); } return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? quotient : GetSum(~quotient, 1); }