大家應該都聽說過這個老題目：有 1000 個一模一樣的瓶子，其中有 999 瓶是普通的水，有一瓶是毒葯。任何喝下毒葯的生物都會在一星期之后死亡。現在，你只有 10 只小白鼠和一星期的時間，如何檢驗出哪個瓶子里有毒葯？
這個問題的答案也堪稱經典：把瓶子從 0 到 999 依次編號，然后全部轉換為 10 位二進制數。讓第一只老鼠喝掉1到1000所有二進制數右起第一位是 1 的瓶子，讓第二只老鼠喝掉所有二進制數右起第二位是 1 的瓶子，等等。一星期后，如果第一只老鼠死了，就知道毒葯瓶子的二進制編號中，右起第一位是 1 ；如果第二只老鼠沒死，就知道毒葯瓶子的二進制編號中，右起第二位是 0 ……每只老鼠的死活都能確定出 10 位二進制數的其中一位，由此便可知道毒葯瓶子的編號了。
現在，有意思的問題來了：
這個問題的答案也堪稱經典：把瓶子從 0 到 999 依次編號，然后全部轉換為 10 位二進制數。讓第一只老鼠喝掉1到1000所有二進制數右起第一位是 1 的瓶子，讓第二只老鼠喝掉所有二進制數右起第二位是 1 的瓶子，等等。一星期后，如果第一只老鼠死了，就知道毒葯瓶子的二進制編號中，右起第一位是 1 ；如果第二只老鼠沒死，就知道毒葯瓶子的二進制編號中，右起第二位是 0 ……每只老鼠的死活都能確定出 10 位二進制數的其中一位，由此便可知道毒葯瓶子的編號了。
現在，有意思的問題來了：
1、如果你有兩個星期的時間（換句話說你可以做兩輪實驗），為了從 1000 個瓶子中找出毒葯，你最少需要幾只老鼠？注意，在第一輪實驗中死掉的老鼠，就無法繼續參與第二次實驗了。
答案：7 只老鼠就足夠了。事實上，7 只老鼠足以從 3^7 = 2187 個瓶子中找出毒葯來。首先，把所有瓶子從 0 到 2186 編號，然后全部轉換為 7 位三進制數。現在，讓第一只老鼠喝掉所有三進制數右起第一位是 2 的瓶子，讓第二只老鼠喝掉所有三進制數右起第二位是 2 的瓶子，等等。一星期之后，如果第一只老鼠死了，就知道毒葯瓶子的三進制編號中，右起第一位是 2 ；如果第二只老鼠沒死，就知道毒葯瓶子的三進制編號中，右起第二位不是 2，只可能是 0 或者 1 ……也就是說，每只死掉的老鼠都用自己的生命確定出了，三進制編號中自己負責的那一位是 2 ；但每只活着的老鼠都只能確定，它所負責的那一位不是 2 。於是，問題就歸約到了只剩一個星期時的情況。在第二輪實驗里，讓每只活着的老鼠繼續自己未完成的任務，喝掉它負責的那一位是 1 的所有瓶子。再過一星期，毒葯瓶子的三進制編號便能全部揭曉了。
類似地，我們可以證明， n 只小白鼠 t 周的時間可以從 (t+1)^n 個瓶子中檢驗出毒葯來。
2、有700瓶水，一瓶有毒，小白鼠喝一點點，20小時內死翹翹，那么至少用多少只小白鼠一定可以在50小時內找到哪瓶水有毒？
先看一個比這題簡單點的題目：如果只給你20小時找出那瓶有毒的葯水，該用多少只老鼠？
分析：20小時只能做一輪實驗。一只老鼠在喝了任意一瓶葯水后的狀態只可能有兩種：死or沒死，顯然，死=喝了毒葯，沒死=沒喝毒葯。按照信息論，一只小白鼠做一次實驗的信息量為I1=log2(2)=1bit，而700瓶葯水中找到一瓶毒葯所需之信息量為I2=log2(700)，故需要的小白鼠數量為I2/I1=log2(700)，向上取整后為10，即理論上至少需要10只小白鼠。但具體怎么找出這一瓶毒葯呢？
算法：將10只小白鼠排成一列，每一只相當於二進制數的一位，其中可設0=沒死=沒喝毒葯，1=死了=喝了毒葯。10只小白鼠可以表示的狀態數為2^10=1024>700，所以足夠了。將700個瓶子按照二進制依次編號，按照其編號，將對應位為1的瓶子里的葯水給表示對應位的小白鼠喝。比如6號瓶的二進制編碼為110，故從右到左第1位小白鼠不喝，而第2、3位小白鼠都要喝一口。如果20小時以后，第1位小白鼠木有掛，而第2、3位小白鼠掛了，說明毒葯的編號就是110，即6號瓶。
回到原題，原題與上題的區別在於50個小時，可以做兩輪實驗。當然，如果第一輪實驗就掛掉的小白鼠是無法做第二輪實驗的，但這無妨，可以用同樣的方法解決。理論上，一只小白鼠做兩輪實驗，可能有三種狀態：第一輪就掛了、第一輪木有掛而第二輪掛了、從頭到尾都木有掛。所以，一只小白鼠做兩輪實驗的信息量為I1=log2(3)，而700瓶中找出一瓶毒葯所需之信息量仍然是I2=log2(700)，故所需小白鼠為I2/I1=log3(700)，向上取整為6只小白鼠。
至於具體的算法也是一樣的，只是這次所用的編碼為3進制，我們可以設0=從頭到尾都沒死，1=第一輪沒死第二輪死了，2=第一輪就死了。將對應位為2的瓶子給對應位的小白鼠喝。20小時后，如果有小白鼠死了，則可確定毒葯瓶子的編號某些位為2，而剩下的位可能是1，也可能是0，於是第二輪實驗便是上題一樣的二進制了，可以將對應位為2的瓶子全部留下，再重新編號做實驗。理論上剩下的小白鼠的數量足以完成實驗。
答案：7 只老鼠就足夠了。事實上，7 只老鼠足以從 3^7 = 2187 個瓶子中找出毒葯來。首先，把所有瓶子從 0 到 2186 編號，然后全部轉換為 7 位三進制數。現在，讓第一只老鼠喝掉所有三進制數右起第一位是 2 的瓶子，讓第二只老鼠喝掉所有三進制數右起第二位是 2 的瓶子，等等。一星期之后，如果第一只老鼠死了，就知道毒葯瓶子的三進制編號中，右起第一位是 2 ；如果第二只老鼠沒死，就知道毒葯瓶子的三進制編號中，右起第二位不是 2，只可能是 0 或者 1 ……也就是說，每只死掉的老鼠都用自己的生命確定出了，三進制編號中自己負責的那一位是 2 ；但每只活着的老鼠都只能確定，它所負責的那一位不是 2 。於是，問題就歸約到了只剩一個星期時的情況。在第二輪實驗里，讓每只活着的老鼠繼續自己未完成的任務，喝掉它負責的那一位是 1 的所有瓶子。再過一星期，毒葯瓶子的三進制編號便能全部揭曉了。
類似地，我們可以證明， n 只小白鼠 t 周的時間可以從 (t+1)^n 個瓶子中檢驗出毒葯來。
2、有700瓶水，一瓶有毒，小白鼠喝一點點，20小時內死翹翹，那么至少用多少只小白鼠一定可以在50小時內找到哪瓶水有毒？
先看一個比這題簡單點的題目：如果只給你20小時找出那瓶有毒的葯水，該用多少只老鼠？
分析：20小時只能做一輪實驗。一只老鼠在喝了任意一瓶葯水后的狀態只可能有兩種：死or沒死，顯然，死=喝了毒葯，沒死=沒喝毒葯。按照信息論，一只小白鼠做一次實驗的信息量為I1=log2(2)=1bit，而700瓶葯水中找到一瓶毒葯所需之信息量為I2=log2(700)，故需要的小白鼠數量為I2/I1=log2(700)，向上取整后為10，即理論上至少需要10只小白鼠。但具體怎么找出這一瓶毒葯呢？
算法：將10只小白鼠排成一列，每一只相當於二進制數的一位，其中可設0=沒死=沒喝毒葯，1=死了=喝了毒葯。10只小白鼠可以表示的狀態數為2^10=1024>700，所以足夠了。將700個瓶子按照二進制依次編號，按照其編號，將對應位為1的瓶子里的葯水給表示對應位的小白鼠喝。比如6號瓶的二進制編碼為110，故從右到左第1位小白鼠不喝，而第2、3位小白鼠都要喝一口。如果20小時以后，第1位小白鼠木有掛，而第2、3位小白鼠掛了，說明毒葯的編號就是110，即6號瓶。
回到原題，原題與上題的區別在於50個小時，可以做兩輪實驗。當然，如果第一輪實驗就掛掉的小白鼠是無法做第二輪實驗的，但這無妨，可以用同樣的方法解決。理論上，一只小白鼠做兩輪實驗，可能有三種狀態：第一輪就掛了、第一輪木有掛而第二輪掛了、從頭到尾都木有掛。所以，一只小白鼠做兩輪實驗的信息量為I1=log2(3)，而700瓶中找出一瓶毒葯所需之信息量仍然是I2=log2(700)，故所需小白鼠為I2/I1=log3(700)，向上取整為6只小白鼠。
至於具體的算法也是一樣的，只是這次所用的編碼為3進制，我們可以設0=從頭到尾都沒死，1=第一輪沒死第二輪死了，2=第一輪就死了。將對應位為2的瓶子給對應位的小白鼠喝。20小時后，如果有小白鼠死了，則可確定毒葯瓶子的編號某些位為2，而剩下的位可能是1，也可能是0，於是第二輪實驗便是上題一樣的二進制了，可以將對應位為2的瓶子全部留下，再重新編號做實驗。理論上剩下的小白鼠的數量足以完成實驗。