POJ3233_Matrix Power Series_矩陣冪_C++

　　題目：http://poj.org/problem?id=3233

 

　　這是今天考試的題目，結果沒想出來寫了個暴力30分，看完題解之后覺得自己是SB

　　

 

　　首先暴力就是一個個乘然后相加，時間是O(kn³)，極限數據要跑一個月才跑得出來

　　我們思考，求冪的話有快速冪（不會快速冪戳這里： http://www.cnblogs.com/hadilo/p/5719139.html ），那么矩陣一樣也是可以的是不是

　　因為對於方陣A來說，(A²)²=A⁴

　　於是實數怎樣做快速冪，矩陣就怎樣做

while (m>0)
    {
        if (m%2) mult(b,a);
        m/=2;
        mult(a,a);
    }

 

　　手寫一個 mult 函數，就用最普通的 n³ 矩陣乘法

　 （矩陣的基本運算，通俗易懂 http://www.cnblogs.com/hadilo/p/5865541.html）

void mult(int x[N][N],int y[N][N])
{
    int i,j,k;
    for (i=1;i<=n;i++)
        for (j=1;j<=n;j++)
            {
                c[i][j]=0;
                for (k=1;k<=n;k++) c[i][j]=(c[i][j]+x[i][k]*y[k][j])%mo;
            }
    for (i=1;i<=n;i++)
        for (j=1;j<=n;j++) x[i][j]=c[i][j];
}

 

　　但題目要求的是 A+A²+...+A^k，而不是單個矩陣的冪

　　那么我們可以構造一個分塊的輔助矩陣 S，其中 A 為原矩陣，E 為單位矩陣，O 為0矩陣

　　

　　我們將 S 取冪，會發現一個特性

　　

　　S^k 右上角那一塊不正是我們要求的 A+A²+...+A^k 嗎？

　　於是我們構造出 S 矩陣，然后對它求矩陣快速冪即可，最后別忘了減去一個單位陣

　　時間降為O(n³log₂k)，從一個月到0.8秒的跨越

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

const int N=61;
int c[N][N],a[N][N],b[N][N],n,mo;
void mult(int x[N][N],int y[N][N])
{
    int i,j,k;
    for (i=1;i<=n;i++)
        for (j=1;j<=n;j++)
            {
                c[i][j]=0;
                for (k=1;k<=n;k++) c[i][j]=(c[i][j]+x[i][k]*y[k][j])%mo;
            }
    for (i=1;i<=n;i++)
        for (j=1;j<=n;j++) x[i][j]=c[i][j];
}
int main()
{
    int m,i,j;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&mo);
    for (i=1;i<=n;i++)
        {
            for (j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
            a[i][i+n]=a[i+n][i+n]=b[i][i]=b[i+n][i+n]=1;
        }
    n*=2;
    m++;
    while (m>0)
        {
            if (m%2) mult(b,a);
            m/=2;
            mult(a,a);
        }
    n/=2;
    for (i=1;i<=n;i++) b[i][i+n]--;
    for (i=1;i<=n;i++)
        {
            for (j=1;j<n;j++) printf("%d ",b[i][j+n]);
            printf("%d\n",b[i][j+n]);
        }
    return 0;
}

 

 

 

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