匈牙利 算法&模板

匈牙利 算法

一. 算法簡介

匈牙利算法是由匈牙利數學家Edmonds於1965年提出。該算法的核心就是尋找增廣路徑，它是一種用增廣路徑求二分圖最大匹配的算法。

二分圖的定義：

設G=(V,E)是一個無向圖，頂點集V可分割為兩個互不相交的子集V1,V2，那么稱此圖G為二分圖。

例如，下圖就是一個二分圖：

二分圖的匹配：

二分圖中的子圖中，每個節點只連一條邊，則稱該子圖是二分圖中的一個匹配。

 

極大匹配：

無法再向二分圖中加入邊，使得滿足匹配條件。

 

最大匹配：

所有極大匹配中邊數最多的一個匹配。

 

完美匹配：

如果一個圖的某個匹配中，所有的頂點都是匹配點，那么它就是一個完美匹配。

 

方法：

求最大匹配的一種顯而易見的算法是:先找出全部匹配，然后保留匹配數最多的。但是這個算法的時間復雜度為邊數的指數級。因此，需要尋求一種更加高效的算法。下面介紹用增廣路求最大匹配的方法。

 

算法圖解：

下圖是一個二分圖，現在求最大匹配。

先從1出發，找增廣路，找到1->A 這條路，標記並記錄。

從2出發，找到2->B這條路，標記並記錄。

從3開始找，發現3所連接邊全部被占用，這時進行一個神奇的操作：

從三開始找一條增廣路，3 -> A -> 1 -> B -> 2 -> C 

這時，在圖中將有兩種顏色的邊刪去，留下綠色的邊。

這時，這張圖的最大匹配值就是3.

 

三.算法模板

 核心代碼：

bool Hungary ( int x ) {
         for ( int i = head[ x ] ; i ; i = E[ i ] . next ) {
                 if ( vis[ i ] ) continue ;
                 int temp = E[ i ] . to ; 
                 vis[ i ] = true ;
                 if ( !match[ temp ] || Hungary ( match[ temp ] ) ) {
                          match [ temp ] = x ;
                          return true ;
                 }
         }
         return false ;
} 

主程序：

for ( k=1 ; k<=M ; ++k ) {
                 memset ( vis , false , sizeof ( vis ) ) ; 
                 if ( !Hungary ( k ) )
                         break ; 
}

 

時間復雜度：

鄰接矩陣：  O(n³)
鄰接表： O(nm)

 

空間復雜度：

鄰接矩陣：  O(n²)
鄰接表：O(n+m)

2016-09-16 02:18:44

(完)