Tarjian算法求強聯通分量

如果兩個頂點可以相互通達，則稱兩個頂點強連通(strongly connected)。如果有向圖G的每兩個頂點都強連通，稱G是一個強連通圖。強連通圖有向圖的極大強連通子圖，稱為強連通分量(strongly connected components)。

下圖中，子圖{1,2,3,4}為一個強連通分量，因為頂點1,2,3,4兩兩可達。{5},{6}也分別是兩個強連通分量。

Tarjan算法是用來求有向圖的強連通分量的。求有向圖的強連通分量的Tarjan算法是以其發明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan還發明了求雙連通分量的Tarjan算法。

Tarjan算法是基於對圖深度優先搜索的算法，每個強連通分量為搜索樹中的一棵子樹。搜索時，把當前搜索樹中未處理的節點加入一個堆棧，回溯時可以判斷棧頂到棧中的節點是否為一個強連通分量。

定義DFN(u)為節點u搜索的次序編號(時間戳)，Low(u)為u或u的子樹能夠追溯到的最早的棧中節點的次序號。

當DFN(u)=Low(u)時，以u為根的搜索子樹上所有節點是一個強連通分量。

接下來是對算法流程的演示。

從節點1開始DFS，把遍歷到的節點加入棧中。搜索到節點u=6時，DFN[6]=LOW[6]，找到了一個強連通分量。退棧到u=v為止，{6}為一個強連通分量。

返回節點5，發現DFN[5]=LOW[5]，退棧后{5}為一個強連通分量。

返回節點3，繼續搜索到節點4，把4加入堆棧。發現節點4向節點1有后向邊，節點1還在棧中，所以LOW[4]=1。節點6已經出棧，(4,6)是橫叉邊，返回3，(3,4)為樹枝邊，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

繼續回到節點1，最后訪問節點2。訪問邊(2,4)，4還在棧中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，發現DFN[1]=LOW[1]，把棧中節點全部取出，組成一個連通分量{1,3,4,2}。

至此，算法結束。經過該算法，求出了圖中全部的三個強連通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以發現，運行Tarjan算法的過程中，每個頂點都被訪問了一次，且只進出了一次堆棧，每條邊也只被訪問了一次，所以該算法的時間復雜度為O(N+M)。

struct node{
    int v,next;
}e[M];
int head[N],cnt;
int p[N],st[N],id,top,scc;
int dfn[N],low[N],belong[N];
void add(int u,int v){
    e[cnt].v=v,e[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt++;
}
void init(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(p,0,sizeof(p));
    memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    id=top=cnt=0;
}
void dfs(int u){
    dfn[u]=low[u]=++id;
    st[++top]=u;p[u]=1;
    int v;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){
        v=e[i].v;
        if(!dfn[v]){
            dfs(v);
            if(low[v]<low[u])low[u]=low[v];
        }else if(p[v]&&dfn[v]<low[u]){
            low[u]=dfn[v];
        }
    }
    if(dfn[u]==low[u]){
        ++scc;
        do{
            v=st[top--];
            p[v]=0;
            belong[v]=scc;
        }while(v!=u);
    }
}
void Tarjian(int n){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!dfn[i])
            dfs(i);
    }
    printf("%d\n",scc);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        printf("%d %d\n",i,belong[i]);
    }
}
int main(){
    int n,m,u,v;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    init();
    while(m--){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);
    }
    Tarjian(n);
    return 0;
}