有向圖中, u可達v不一定意味着v可達u. 相互可達則屬於同一個強連通分量(Strongly Connected Component, SCC)
有向圖和它的轉置的強連通分量相同
所有SCC構成一個DAG
1、強連通圖。在一個強連通圖中，任意兩個點都通過一定路徑互相連通。比如圖一是一個強連通圖，而圖二不是。因為沒有一條路使得點4到達點1、2或3。
2、強連通分量。在一個非強連通圖中極大的強連通子圖就是該圖的強連通分量。比如圖三中子圖{1,2,3,5}是一個強連通分量，子圖{4}是一個強連通分量。
Kosaraju算法
算法步驟
調用DFS(G), 計算出每個結點的f[u]
計算GT
調用DFS(GT), 在主循環中按照f[u]遞減的順序執行DFS-VISIT, 則得到的每個DFS樹恰好對應於一個SCC
運行時間：O(n+m)
算法示例: 先把f[u]排序成postI數組, 然而在GT上DFS
SCC的f性質
當按照f值排序以后, 第二次DFS是按照SCC的拓撲順序進行(以后所指d[u]和f[u]都是第一次DFS所得到的值)
記d(C)和f(C)分別表示集合C所有元素的最早發現時間和最晚完成時間, 有如下定理:
定理: 對於兩個SCC C和C’, 如果C到C’有邊, 則f(C)>f(C’)
情況一: d(C) < d(C’), 考慮C中第一個被發現的點x, 則C’全為白色, 而C到C’有邊, 故x到C’中每個點都有白色路徑. 這樣, C和C’全是x的后代, 因此f(C) > f(C’)
情況二: d(C) > d(C’). 由於從C’不可到達C, 因此必須等C’全部訪問完畢才能訪問C. 因此f(C) > f(C’)
推論:對於兩個SCC C和C’, 如果在GT中C到C’有邊, 則f(C)
Kosaraju算法的正確性
首先考慮f(C)最大的強連通分量. 顯然, 此次DFS將訪問C的所有點, 問題是是否可能訪問其他連通分量的點? 答案是否定的, 因為根據推論, 如果在GT中C到另外某個C’存在邊, 一定有f(C)
Tarjan算法
其實，tarjan算法的基礎是DFS。我們准備兩個數組Low和Dfn。Low數組是一個標記數組，記錄該點所在的強連通子圖所在搜索子樹的根節點的Dfn值（很繞嘴，往下看你就會明白），Dfn數組記錄搜索到該點的時間，也就是第幾個搜索這個點的。根據以下幾條規則，經過搜索遍歷該圖（無需回溯）和對棧的操作，我們就可以得到該有向圖的強連通分量。
1、數組的初始化：當首次搜索到點p時，Dfn與Low數組的值都為到該點的時間。
2、堆棧：每搜索到一個點，將它壓入棧頂。
3、當點p有與點p’相連時，如果此時（時間為dfn[p]時）p’不在棧中，p的low值為兩點的low值中較小的一個。
4、當點p有與點p’相連時，如果此時（時間為dfn[p]時）p’在棧中，p的low值為p的low值和p’的dfn值中較小的一個。
5、每當搜索到一個點經過以上操作后（也就是子樹已經全部遍歷）的low值等於dfn值，則將它以及在它之上的元素彈出棧。這些出棧的元素組成一個強連通分量。
6、繼續搜索（或許會更換搜索的起點，因為整個有向圖可能分為兩個不連通的部分），直到所有點被遍歷。
由於每個頂點只訪問過一次，每條邊也只訪問過一次，我們就可以在O（n+m）的時間內求出有向圖的強連通分量。但是，這么做的原因是什么呢？
Tarjan算法的操作原理如下：
1、Tarjan算法基於定理：在任何深度優先搜索中，同一強連通分量內的所有頂點均在同一棵深度優先搜索樹中。也就是說，強連通分量一定是有向圖的某個深搜樹子樹。
2、可以證明，當一個點既是強連通子圖Ⅰ中的點，又是強連通子圖Ⅱ中的點，則它是強連通子圖Ⅰ∪Ⅱ中的點。
3、這樣，我們用low值記錄該點所在強連通子圖對應的搜索子樹的根節點的Dfn值。注意，該子樹中的元素在棧中一定是相鄰的，且根節點在棧中一定位於所有子樹元素的最下方。
4、強連通分量是由若干個環組成的。所以，當有環形成時（也就是搜索的下一個點已在棧中），我們將這一條路徑的low值統一，即這條路徑上的點屬於同一個強連通分量。
5、如果遍歷完整個搜索樹后某個點的dfn值等於low值，則它是該搜索子樹的根。這時，它以上（包括它自己）一直到棧頂的所有元素組成一個強連通分量。
Tarjan模版：
View Code
2 #include <iostream>
3 #include <cstring>
4 #include <cstdio>
5 #include <stack>
6 #define max(a,b) (a>b?a:b)
7 #define min(a,b) (a>b?b:a)
8 using namespace std;
9
10 const int N= 1001;
11 int time= 1;
12 int low[N],dfn[N];
13 bool instack[N];
14 stack< int>st;
15
16 struct LIST
17 {
18 int v;
19 LIST *next;
20 };
21 LIST *head[N]={NULL};
22
23 void tarjan( int v) /* tarjan求強連通分支 */
24 {
25 dfn[v]=low[v]=time++; /* 標記點v的DFS遍歷序號 */
26 st.push(v); /* 將點v入棧 */
27 instack[v]= true; /* 標記點v已經在棧中 */
28 for(LIST *p=head[v];p!=NULL;p=p->next) /* 遍歷V能直接到達的點 */
29 {
30 if(!dfn[p->v]) /* 如果v的鄰接點沒有入過棧 */
31 {
32 tarjan(p->v);
33 low[v]=min(low[v],low[p->v]); /* 如果v能直接到達的這個點沒在棧中,v的最早祖先為他們中的較小值 */
34 }
35 else if(instack[p->v]) /* 如果在棧中 */
36 low[v]=min(low[v],dfn[p->v]); /* 如果在棧中，則v的最早祖先是他的序號和那個點的序號較小的 */
37 }
38 if(dfn[v]==low[v]) /* 如果dfn[v]和low[v]相等，則說明v點是其所屬強連通分支DFS遍歷起點，這個強連通分支所有點都在v點之上 */
39 {
40 cout<< " { ";
41 do
42 {
43 v=st.top();
44 st.pop();
45 instack[v]= false;
46 cout<<v<< ' ';
47 } while(dfn[v]!=low[v]);
48 cout<< " } "<<endl;
49 }
50 }
51
52 int main()
53 {
54 int i,j,n,m;
55 cin>>n;
56 while(!st.empty())
57 st.pop();
58 memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
59 memset(instack, false, sizeof(instack));
60 for(i= 0;i<=n;i++)
61 head[i]=NULL;
62 for(i= 1;i<=n;i++)
63 {
64 cin>>m; // i的鄰接點數量
65 // 輸入每個鄰接點編號
66 LIST *rear=head[i];
67 for(j= 0;j<m;j++) /* 創建鄰接表 */
68 {
69 if(!j)
70 {
71 rear= new LIST;
72 head[i]=rear;
73 }
74 else
75 {
76 rear->next= new LIST;
77 rear=rear->next;
78 }
79 rear->next=NULL;
80 cin>>rear->v;
81 }
82 }
83 for(i= 1;i<=n;i++)
84 if(!dfn[i]) /* 如果i沒有入過棧 */
85 tarjan(i);
86 return 0;
87 }
88
POJ 1523 SPF
一道題看書+讀題+寫代碼 寫了一個上午，太弱了。
代碼：
View Code
2 #include <iostream>
3 #include <cstring>
4 #include <cstdio>
5 using namespace std;
6 const int N= 1001;
7 int map[N][N]; // 鄰接矩陣
8 int vis[N]; // 標記是否訪問過
9 int dfn[N]; // 每個頂點的dfn值
10 int low[N]; // 每個頂點的low值，用於判斷是否是關節點
11 int num[N]; // 每個節點的連通分量個數
12 int n; // 節點個數
13 int son; // 根節點孩子個數，大於2則根節點為關節點
14 int times; // 搜索次序
15 void dfs( int u)
16 {
17 vis[u]= 1;
18 int i;
19 for(i= 1;i<=n;i++)
20 {
21 // i與u鄰接則：①i是u的祖先（i，u）是回邊
22 // ②i是u的兒子節點
23 if(map[u][i])
24 {
25 if(!vis[i]) // ②
26 {
27 times++;
28 low[i]=dfn[i]=times;
29 dfs(i);
30 low[u]=min(low[u],low[i]);
31 if(low[i]>=dfn[u])
32 {
33 if(u!= 1)
34 num[u]++;
35 else
36 son++; // 根節點
37 }
38 }
39 else
40 {
41 low[u]=min(low[u],dfn[i]);
42 }
43 }
44 }
45 }
46 void init()
47 {
48 son= 0;
49 times= 1;
50 low[ 1]=dfn[ 1]= 1;
51 memset(vis, 0, sizeof(vis));
52 memset(num, 0, sizeof(num));
53 }
54 int main()
55 {
56 init();
57 int i,u,v,flag,k= 0,m;
58 while(~scanf( " %d ",&u))
59 {
60 if(!u)
61 break;
62 memset(map, 0, sizeof(map));
63 scanf( " %d ",&v);
64 map[u][v]=map[v][u]= 1;
65 m=max(u,v);
66 n=max(m,n);
67 while(~scanf( " %d ",&u))
68 {
69 if(!u)
70 break;
71 scanf( " %d ",&v);
72 map[u][v]=map[v][u]= 1;
73 m=max(u,v);
74 n=max(m,n);
75 }
76 if(k> 0)
77 puts( "");
78 k++;
79 printf( " Network #%d\n ",k);
80 init();
81 dfs( 1);
82 if(son> 1)
83 num[ 1]=son- 1;
84 flag= 0;
85 for(i= 1;i<=n;i++)
86 {
87 if(num[i])
88 {
89 flag= 1;
90 printf( " SPF node %d leaves %d subnets\n ",i,num[i]+ 1);
91 }
92 }
93 if(!flag)
94 {
95 puts( " No SPF nodes ");
96 }
97 }
98 return 0;
99
100 }
101
POJ 1144 Network
模版題，求關節點數量
代碼：
View Code
2 #include <iostream>
3 #include <cstring>
4 #include <cstdio>
5 using namespace std;
6 const int N= 1001;
7 int map[N][N],vis[N],dfn[N],low[N],num[N];
8 int n,son,times;
9 void dfs( int u)
10 {
11 vis[u]= 1;
12 int i;
13 for(i= 1;i<=n;i++)
14 {
15 if(map[u][i])
16 {
17 if(!vis[i])
18 {
19 times++;
20 low[i]=dfn[i]=times;
21 dfs(i);
22 low[u]=min(low[u],low[i]);
23 if(low[i]>=dfn[u])
24 {
25 if(u!= 1)
26 num[u]++;
27 else
28 son++;
29 }
30 }
31 else
32 {
33 low[u]=min(low[u],dfn[i]);
34 }
35 }
36 }
37 }
38 void init()
39 {
40 son= 0;
41 times= 1;
42 low[ 1]=dfn[ 1]= 1;
43 memset(vis, 0, sizeof(vis));
44 memset(num, 0, sizeof(num));
45 memset(map, 0, sizeof(map));
46 }
47 int main()
48 {
49 init();
50 int i,u,v,s,m;
51 while(scanf( " %d ",&n)!=EOF && n)
52 {
53 s= 0;
54 init();
55 while(scanf( " %d ",&u) && u)
56 {
57 while(getchar()!= ' \n ')
58 {
59 scanf( " %d ",&v);
60 map[u][v]= 1;
61 map[v][u]= 1;
62 }
63 }
64 dfs( 1);
65 if(son> 1)
66 num[ 1]=son- 1;
67 for(i= 1;i<=n;i++)
68 {
69 if(num[i])
70 {
71 s++;
72 }
73 }
74 printf( " %d\n ",s);
75 }
76 return 0;
77 }
78