二維坐標系的變換分為旋轉變換和平移變換。
一、旋轉變換
假設已知基坐標系XOY中的一點P（x，y），坐標原點為O，繞點O旋轉θ，可以求得點P在新坐標系X'OY'中坐標值（x'，y'）,如下圖所示：
求解x'和y'的關鍵是堅持用已知的邊做斜邊來求解，結合上圖利用三角函數可以求得：
x'=x·cos(θ)+y·sin(θ)
y'=y·cos(θ)-x·sin(θ)
那么點P在X'OY'中的坐標值為（x',y'）。
同理如果知道P點在坐標系X'OY'中的坐標（x',y'）,可以求得點P在基坐標系XOY中的坐標值：
x=x'·cos(-θ)+y'·sin(-θ)
y=y'·cos(-θ)-x'·sin(-θ)
通過上述兩個算式可以知道：已知一個點P在一個坐標系中的坐標值(x,y)，那么把坐標系繞坐標原點旋轉θ以后，點P在新坐標系中的坐標值x'和y'分別為：
x'=x·cos(θ)+y·sin(θ)
y'=y·cos(θ)-x·sin(θ)
繞坐標原點逆時針旋轉θ，上式θ值為正，順時針旋轉θ，上式θ值為負。
二、平移變換
已知基坐標系XOY，把坐標系平移(a,b)得到一個新的坐標系X'O'Y'，如果基坐標系中一點P(x,y)，跟隨坐標系一起平移，那么此時P點在基坐標系XOY中的坐標為(x+a,y+b)。
根據向量加法可以求得：
OP=OO'+O'P'=T+O'P'
所以向量OP'的坐標為(x+a,y+b)。
三、旋轉平移變換
旋轉平移變換是以上兩種情況的疊加，已知旋轉平移后的坐標系X'O'Y'中的一點P'(x',y')，求P'在基坐標系中的坐標值：
可以先求出P'在坐標系XO'Y中的坐標值，X'O'Y'順時針旋轉θ（此時θ應取負值）可以變換為坐標系XO'Y，然后坐標系XO'Y經過平移(-a,-b)可以變換為坐標系XOY，至此可以求出坐標系X'O'Y'中的一點P'(x',y')在基坐標系XOY中的坐標值x，y分別為：
x=x'·cos(θ)+y'·sin(θ)+a
y=y'·cos(θ)-x'·sin(θ)+b
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------