AVL樹的基本概念
AVL樹是一種高度平衡的(height balanced)二叉搜索樹：對每一個結點x，x的左子樹與右子樹的高度差(平衡因子)至多為1。
有人也許要問：為什么要有AVL樹呢？它有什么作用呢？
我們先來看看二叉搜索樹吧（因為AVL樹本質上是一棵二叉搜索樹），假設有這么一種極端的情況：二叉搜索樹結點的插入順序為1,2,3,4,5，也就是：
顯而易見，這棵二叉搜索樹已經其退化成一個鏈表了，也就是說，它在查找上的優勢已經全無了—— 在這種情況下，查找一個結點的時間復雜度是O(n)！
如果這棵二叉搜索樹是AVL樹，在插入順序仍為1,2,3,4,5的情況下，樹的形狀如下圖：
可以看出，AVL樹基本操作的最壞時間復雜度要比普通的二叉搜索樹低—— 除去可能的插入操作外（我們將假設懶惰刪除），它是O(logn)。
而插入操作隱含着困難的原因在於，插入一個節點可能破壞AVL樹的性質（例如，將6插入到上圖的AVL樹中會破壞根節點2的平衡條件），如果發生這種情況，就要在插入操作結束之前恢復平衡的性質。事實上，這總可以通過對樹進行簡單的修正來做到，我們稱其為旋轉。
AVL樹的旋轉
在AVL樹中，假設有一個結點的平衡因子為2（最大就是2，因為結點是一個一個地插入到樹中的，一旦出現不平衡的狀態就會立即進行調整），我們把這個必須重新平衡的結點叫做被破壞點α。這種不平衡只可能是下面四種情況造成的：
1. 對α的左兒子的左子樹進行了一次插入，即LL情況。
2. 對α的左兒子的右子樹進行了一次插入，即LR情況。
3. 對α的右兒子的左子樹進行了一次插入，即RL情況。
4. 對α的右兒子的右子樹進行了一次插入，即RR情況。
情形1和4是關於結點α的鏡像對稱，2和3也是關於結點α的鏡像對稱。因此，理論上只有兩種情況：第一種情況是插入發生在“外邊”的情況（即LL情況或RR情況），第二種情況是插入發生在“內部”的情況（即LR情況或RL情況）。
在AVL樹中插入結點后，用於保持樹的平衡的旋轉操作步驟如下：
步驟一：沿着插入點到根結點的路徑檢查結點的平衡因子，找到途中第一個不滿足AVL樹性質的結點，這個結點就是被破壞點α。
步驟二：從被破壞點α開始沿着該路徑向下再標記連續的兩個結點β、γ，這三個點就是旋轉過程將要涉及的三個點（這些點中不一定包括插入點，旋轉會使β或γ成為新的根，另外兩個點作為根的左右兒子，其他結點根據AVL樹的性質放置即可）。
步驟三：判斷插入點與被破壞點α之間的關系屬於上述四種情況中的哪一種：如果是插入發生在“外邊”的情況(即LL的情況或RR的情況)，只需要以β為新的根結點頂替被破壞點α的位置進行進行一次單旋轉即可完成調整；如果是插入發生在“內部”的情形(即LR的情況或RL的情況)，只需要以γ為新的根結點頂替被破壞點α的位置進行稍微復雜的雙旋轉即可完成調整。
(1) LL基本情況
(2) RR基本情況
(3) LR基本情況
(4) RL基本情況
實例分析
下面給出了一個向AVL樹中插入關鍵字的實例，在已給AVL樹的基礎上插入9（圖中虛線表示），沿着插入點9到根節點的路徑發現第一個高度不平衡的結點6，即被破壞點；從被破壞點6開始沿着該路徑向下標記6,10,7為α,β,γ；插入點9位於被破壞點6的右兒子10的左子樹上，所以屬於RL狀況；以γ結點7為新的根節點頂替被破壞點6的位置，α結點6和β結點10分別為γ結點7的左右兒子，其他結點根據AVL樹的性質放置即可得到右側的AVL樹。
在上面AVL樹的基礎上繼續插入8（圖中虛線表示），沿着插入點8到根節點的路徑發現第一個高度不平衡的結點為根節點4，即被破壞點；從被破壞點4開始沿着該路徑向下標記4,7,10為α,β,γ；插入點8位於被破壞點4的右兒子7的右子樹上，所以屬於RR狀況；以β結點7為新的根節點頂替被破壞點4的位置，α結點4和γ結點10分別為β結點7的左右兒子，其他結點根據AVL樹的性質放置即可得到右側的AVL樹。
AVL樹是最早的平衡二叉樹之一，應用相對其他數據結構較少。Windows對進程地址空間的管理用到了AVL樹。
參考資料: 《算法導論第3版》—— 習題 13-3 AVL樹
《數據結構與算法分析—Java語言描述》—— 4.4 AVL樹
http://blog.chinaunix.net/uid-25324849-id-2182877.html