有沒有想過這樣的問題，計算機是如何把3維的模型顯示到2維的屏幕上？照相機又是如何把3維的世界記錄成2維的照片的？
發現了嗎？世界被降維了！而投影矩陣(
Projection Matrix
)就是進行這步降維的關鍵，它就像是一張二向箔，將3維的世界變成一幅幅壯麗的二維畫卷.......
有多種類型的投影，比如說正交投影(
Orthographic Projection
)、透視投影等(Perspective Projection
) 。
人的眼睛使用的是
透視投影，在這種投影下，同樣大小的物體放在近處就會顯得比放在遠處大。
在這里使用OpenGL里對透視投影矩陣的定義來介紹
。
透視投影矩陣要解決一個問題：一個三維坐標上的點，它在一個二維平面(像平面)上的坐標是多少？
相機是小孔成像模型，所有被采集到的光線都要通過光心這一點，於是光心(紅點)和原始三維點(藍點)的連線所交於像平面(藍線)的點(黃點)就是最終要成像的點。像平面距離光心的距離為n。如下圖，假設相機是朝Z軸的負方向看的，並且Z軸穿過光心和像平面的中心。
哎，有讀者嫌棄我畫的圖太丑，其實我也是這么覺得的，沒那么多時間畫圖(好像有時間就能畫好似的....)。下面就用參考資料里的圖吧。
細心的讀者會發現圖中多個一個平面,距離光心得距離是f，這個平面的意義在於z的值小於-f的點都不會投射到像平面上。至於為什么要多這個far平面嘛.....大家看到最后就會明白了。<(￣︶￣)>
好了，如圖所示，根據相似三角形原理，就可以求出一個三維點(xe,ye,ze)在像平面上的坐標(xp,yp)。
另外，根據opengl的實現，需要將坐標轉化成 NDC(normalized device coordinates) ，簡單來說，就是定義一定范圍的坐標范圍，這個范圍形成一個類似錐型的區域(frustum)，將這個區域內的坐標按照3個坐標軸的方向映射成[-1,1]的值，最終形成一個立方體。
如圖所示，例如z=-n的平面被映射成z=-1，z=-f的平面被映射成z=1。
原先的x坐標從[l,r] 被映射成x坐標為[-1,1]
原先的y坐標從[b,t] 被映射成y坐標為[-1,1]。
現在我們需要把這些坐標的變化寫成矩陣的形式，寫成矩陣 M
projection
。
但是
像平面上的坐標(x
p
,y
p
)的計算公式中是有除法的，這樣的話就沒辦法寫成線性的矩陣運算的形式了。沒關系，我們可以使用3維點的
齊次坐標(Homogeneous Coordinates) 來運算。
最終就可以獲得NDC坐標(發現沒？除法出現了！)：
需要構造出M
projection
因為最后需要除的數是-Ze, 所以需要保證W
clip的值為-Ze, 於是 M矩陣的最后一行應該為[0 0 -1 0].。
其次，要保證除x和y要被線性映射成[-1,1]。
先設計一個線性方程：
當x
p = r 時 x
n=1
求解出
又：
看上是不是就可以寫成矩陣形式了？
同理可以獲得y方向上的坐標轉換公式，就得到了前兩行矩陣：
接下來就只剩下第三行需要求解了。
我們知道z的值是不依賴x和y的，於是第三行的前兩個元素為0，設另外兩個值為A、B：
最終得到的坐標為：
齊次坐標下的w是等於1的，所以等式變為：
要求解A、B怎么辦？找兩個點代入進去呀。
這兩個點為(-n, -1) 和 (-f, 1)。於是：
解得
最終，得到了完整的投影矩陣：
注意到沒！Z
e和Z
n的關系不是線性的！
在接近near平面時精度高，在接近far平面時精度低，如果far和near相距較大時，就會產生深度精度問題(z-fighting),所以在滿足需求的情況下，far和near要盡可能接近。
好了，世界就這樣被二維化了，Enjoy it!
參考資料
http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix_mathml.html
