Given a positive integer n, break it into the sum of at least two positive integers and maximize the product of those integers. Return the maximum product you can get.
Example 1:
Input: 2
Output: 1 Explanation: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1.
Example 2:
Input: 10
Output: 36 Explanation: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36.
Note: You may assume that n is not less than 2 and not larger than 58.
Credits:
Special thanks to @jianchao.li.fighter for adding this problem and creating all test cases.
這道題給了我們一個正整數n，讓拆分成至少兩個正整數之和，使其乘積最大。最簡單粗暴的方法自然是檢查所有情況了，但是拆分方法那么多，怎么才能保證能拆分出所有的情況呢？感覺有點像之前那道 Coin Change，當前的拆分方法需要用到之前的拆分值，這種重現關系就很適合動態規划 Dynamic Programming 來做，我們使用一個一維數組 dp，其中 dp[i] 表示數字i拆分為至少兩個正整數之和的最大乘積，數組大小為 n+1，值均初始化為1，因為正整數的乘積不會小於1。可以從3開始遍歷，因為n是從2開始的，而2只能拆分為兩個1，乘積還是1。i從3遍歷到n，對於每個i，需要遍歷所有小於i的數字，因為這些都是潛在的拆分情況，對於任意小於i的數字j，首先計算拆分為兩個數字的乘積，即j乘以 i-j，然后是拆分為多個數字的情況，這里就要用到 dp[i-j] 了，這個值表示數字 i-j 任意拆分可得到的最大乘積，再乘以j就是數字i可拆分得到的乘積，取二者的較大值來更新 dp[i]，最后返回 dp[n] 即可，參見代碼如下：
解法一：
class Solution { public: int integerBreak(int n) { vector<int> dp(n + 1, 1); for (int i = 3; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j < i; ++j) { dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j])); } } return dp[n]; } };
題目提示中讓用 O(n) 的時間復雜度來解題，而且告訴我們找7到 10 之間的規律，那么我們一點一點的來分析：
正整數從1開始，但是1不能拆分成兩個正整數之和，所以不能當輸入。
那么2只能拆成 1+1，所以乘積也為1。
數字3可以拆分成 2+1 或 1+1+1，顯然第一種拆分方法乘積大為2。
數字4拆成 2+2，乘積最大，為4。
數字5拆成 3+2，乘積最大，為6。
數字6拆成 3+3，乘積最大，為9。
數字7拆為 3+4，乘積最大，為 12。
數字8拆為 3+3+2，乘積最大，為 18。
數字9拆為 3+3+3，乘積最大，為 27。
數字10拆為 3+3+4，乘積最大，為 36。
....
那么通過觀察上面的規律，我們可以看出從5開始，數字都需要先拆出所有的3，一直拆到剩下一個數為2或者4，因為剩4就不用再拆了，拆成兩個2和不拆沒有意義，而且4不能拆出一個3剩一個1，這樣會比拆成 2+2 的乘積小。這樣我們就可以寫代碼了，先預處理n為2和3的情況，然后先將結果 res 初始化為1，然后當n大於4開始循環，結果 res 自乘3，n自減3，根據之前的分析，當跳出循環時，n只能是2或者4，再乘以 res 返回即可：
解法二：
class Solution { public: int integerBreak(int n) { if (n == 2 || n == 3) return n - 1; int res = 1; while (n > 4) { res *= 3; n -= 3; } return res * n; } };
我們再來觀察上面列出的 10 之前數字的規律，我們還可以發現數字7拆分結果是數字4的三倍，而7比4正好大三，數字8拆分結果是數字5的三倍，而8比5大3，后面都是這樣的規律，那么我們可以把數字6之前的拆分結果都列舉出來，然后之后的數通過查表都能計算出來，參見代碼如下；
解法三：
class Solution { public: int integerBreak(int n) { vector<int> dp{0, 0, 1, 2, 4, 6, 9}; for (int i = 7; i <= n; ++i) { dp.push_back(3 * dp[i - 3]); } return dp[n]; } };
下面這種解法是熱心網友留言告訴博主的，感覺很叼，故而補充上來。是解法一的一種變形寫法，不再使用 while 循環了，而是直接分別算出能拆出3的個數和最后剩下的余數2或者4，然后直接相乘得到結果，參見代碼如下：
解法四：
class Solution { public: int integerBreak(int n) { if (n == 2 || n == 3) return n - 1; if (n == 4) return 4; n -= 5; return (int)pow(3, (n / 3 + 1)) * (n % 3 + 2); } };
Github 同步地址：
https://github.com/grandyang/leetcode/issues/343
參考資料：
https://leetcode.com/problems/integer-break/
https://leetcode.com/problems/integer-break/discuss/80694/Java-DP-solution
https://leetcode.com/problems/integer-break/discuss/80785/O(log(n))-Time-solution-with-explanation