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上節我們提到正整數相乘的結果居然出現了負數，要理解這個行為，我們需要看下整數在計算機內部的二進制表示。
十進制
要理解整數的二進制，我們先來看下熟悉的十進制。十進制是如此的熟悉，我們可能已忽略了它的含義。比如123，我們不假思索就知道它的值是多少。
但其實123表示的1*(10^2) + 2*(10^1) + 3*(10^0)，(10^2表示10的二次方)，它表示的是各個位置數字含義之和，每個位置的數字含義與位置有關，從右向左，第一位乘以10的0次方， 即1，第二位乘以10的1次方，即10，第三位乘以10的2次方，即100，依次類推。
換句話說，每個位置都有一個位權，從右到左，第一位為1，然后依次乘以10，即第二位為10，第三位為100，依次類推。
正整數的二進制表示
正整數的二進制表示與此類似， 只是在十進制中，每個位置可以有10個數字，從0到9，但在二進制中，每個位置只能是0或1。位權的概念是類似的，從右到左，第一位為1，然后依次乘以2，即第二位為2，第三位為4，依次類推。
看一些數字的例子吧：
| 二進制 | 十進制 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 111 | 7 |
| 1010 | 10 |
負整數的二進制表示
十進制的負數表示就是在前面加一個負數符號-，例如-123。但二進制如何表示負數呢？
其實概念是類似的，二進制使用最高位表示符號位，用1表示負數，用0表示正數。
但哪個是最高位呢？整數有四種類型，byte/short/int/long，分別占1/2/4/8個字節，即分別占8/16/32/64位，每種類型的符號位都是其最左邊的一位。
為方便舉例，下面假定類型是byte，即從右到左的第8位表示符號位。
但負數表示不是簡單的將最高位變為1，比如說：
- byte a = -1，如果只是將最高位變為1，二進制應該是10000001，但實際上，它應該是11111111。
- byte a=-127，如果只是將最高位變為1，二進制應該是11111111，但實際上，它卻應該是10000001。
和我們的直覺正好相反，這是什么表示法？這種表示法稱為補碼表示法，而符合我們直覺的表示稱為原碼表示法，補碼表示就是在原碼表示的基礎上取反然后加1。取反就是將0變為1，1變為0。
負數的二進制表示就是對應的正數的補碼表示，比如說：
- -1：1的原碼表示是00000001，取反是11111110，然后再加1，就是11111111。
- -2：2的原碼表示是00000010，取反是11111101，然后再加1，就是11111110。
- -127：127的原碼表示是01111111，取反是10000000，然后再加1，就是10000001。
給定一個負數二進制表示，要想知道它的十進制值，可以采用相同的補碼運算。比如：10010010，首先取反，變為01101101，然后加1，結果為01101110，它的十進制值為110，所以原值就是-110。直覺上，應該是先減1，然后再取反，但計算機只能做加法，而補碼的一個良好特性就是，對負數的補碼表示做補碼運算就可以得到其對應整數的原碼，正如十進制運算中負負得正一樣。
byte類型，正數最大表示是01111111，即127，負數最小表示（絕對值最大）是10000000，即-128，表示范圍就是 -128到127。其他類型的整數也類似，負數能多表示一個數。
負整數為什么采用補碼呢？
負整數為什么要采用這種奇怪的表示形式呢？原因是：只有這種形式，計算機才能實現正確的加減法。
計算機其實只能做加法，1-1其實是1+(-1)。如果用原碼表示，計算結果是不對的。比如說：
1 -> 00000001
-1 -> 10000001
+ ------------------
-2 -> 10000010
用符合直覺的原碼表示，1-1的結果是-2。
如果是補碼表示：
1 -> 00000001
-1 -> 11111111
+ ------------------
0 -> 00000000
結果是正確的。
再比如，5-3：
5 -> 00000101
-3 -> 11111101
+ ------------------
2 -> 00000010
結果也是正確的。
就是這樣的，看上去可能比較奇怪和難以理解，但這種表示其實是非常嚴謹和正確的，是不是很奇妙？
理解了二進制加減法，我們就能理解為什么正數的運算結果可能出現負數了。當計算結果超出表示范圍的時候，最高位往往是1，然后就會被看做負數。比如說，127+1：
127 -> 01111111
1 -> 00000001
+ ------------------
-128 -> 10000000
計算結果超出了byte的表示范圍，會被看做-128。
十六進制
二進制寫起來太長，為了簡化寫法，可以將四個二進制位簡化為一個0到15的數，10到15用字符A到F表示，這種表示方法稱為16進制，如下所示：
| 2進制 | 10進制 | 16進制 |
| 1010 | 10 | A |
| 1011 | 11 | B |
| 1100 | 12 | C |
| 1101 | 13 | D |
| 1110 | 14 | E |
| 1111 | 15 | F |
可以用16進制直接寫常量數字，在數字前面加0x即可。比如10進制的123，用16進制表示是0x7B，即123 = 7*16+11。給整數賦值或者進行運算的時候，都可以直接使用16進制，比如：
int a = 0x7B;
Java中不支持直接寫二進制常量，比如，想寫二進制形式的11001，Java中不能直接寫，可以在前面補0，補足8位，為00011001，然后用16進制表示，即 0x19。
查看整數的二進制和十六進制表示
在Java中，可以方便的使用Integer和Long的方法查看整數的二進制和十六進制表示，例如：
int a = 25; System.out.println(Integer.toBinaryString(a)); //二進制 System.out.println(Integer.toHexString(a)); //十六進制 System.out.println(Long.toBinaryString(a)); //二進制 System.out.println(Long.toHexString(a)); //十六進制
位運算
位運算是將數據看做二進制，進行位級別的操作，Java不能單獨表示一個位，但是可以用byte表示8位，可以用16進制寫二進制常量。比如： 0010表示成16進制是 0x2, 110110表示成16進制是 0x36。
位運算有移位運算和邏輯運算。
移位有：
- 左移：操作符為<<，向左移動，右邊的低位補0，高位的就舍棄掉了，將二進制看做整數，左移1位就相當於乘以2。
- 無符號右移：操作符為>>>，向右移動，右邊的舍棄掉，左邊補0。
- 有符號右移：操作符為>>，向右移動，右邊的舍棄掉，左邊補什么取決於原來最高位是什么，原來是1就補1，原來是0就補0，將二進制看做整數，右移1位相當於除以2。
例如：
int a = 4; // 100 a = a >> 2; // 001，等於1 a = a << 3 // 1000，變為8
邏輯運算有：
- 按位與 &：兩位都為1才為1
- 按位或 |：只要有一位為1，就為1
- 按位取反 ~： 1變為0，0變為1
- 按位異或 ^ ：相異為真，相同為假
大部分都比較簡單，就不詳細說了。具體形式，例如：
int a = ...; a = a & 0x1 // 返回0或1，就是a最右邊一位的值。 a = a | 0x1 //不管a原來最右邊一位是什么，都將設為1
小結
本節我們討論了整數的二進制表示，需要注意的就是負數的二進制表示，以及計算機進行二進制加減操作的過程，從而我們就能理解為什么有的時候正整數計算會出現負數。
我們同樣討論了整數的位運算，需要注意的就是無符號右移和有符號右移的區別。
理解了整數，那小數呢？
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