二叉排序樹的高度分析

一，介紹

對於二叉排序樹而言，其相關操作與樹的高度息息相關。設樹中有N個節點，

盡管各個操作的平均時間復雜度為O(logN)，但當輸入的序列有序時，構造出來的樹是一個單分支的樹，其高度為O(N)

故對二叉排序樹的各個操作（如，findMax、contains、findMin...）的時間復雜度也退化成O(N)

 

 二：實現思路

現在分析給定一個輸入序列，根據該輸入序列構造一棵二叉排序樹，統計二叉排序樹的平均高度。

 

有一個隨機生成一組范圍為 [1,N] 的隨機數生成算法，該算法參考：

然后，以上面生成的一組序列作為樹的結點，插入到樹中。

插入完成后，計算該樹的樹高。

二叉排序樹高的平均值 = 各棵樹的高度之和 / tree_numbers。比如，30棵二叉排序樹，每棵有31個節點，樹高度的平均值為 8.666666666666666

 

三，統計結果

樹的數目，               每棵樹中節點的數目，      二叉排序樹高的平均值                   完全二叉樹的高度（根的高度為0）

tree_numbers         node_numbers             averHeight

30                         31                               8.666666666666666                   4 

30                         63                               10.833333333333334                 5

30                        127                              13.366666666666667                 6

 

45                        31                                8.422222222222222                   4          

45                        63                                10.822222222222223                 5

45                       127                               13.466666666666667                 6

 

15                       31                                 8.2                                            4

15                       63                                 11.266666666666667                 5

15                       127                               12.666666666666666                 6

 

15                       99                                 11.8                                          6

30                       99                                 12.3                                          6  

45                       99                                 12.488888888888889                 6   

（11.8+12.3+12.49）/3 = 12.19666666

 

從上面可以看出，對於相同數目節點的二叉排序樹和完成二叉樹，前者的高度要比后者高一倍。

 

四，具體實現代碼

import c2.C2_2_8;

public class BinarySearchTree<T extends Comparable<? super T>> {

    private static class BinaryNode<T> {
        T element;
        BinaryNode<T> left;
        BinaryNode<T> right;

        public BinaryNode(T element) {
            this(element, null, null);
        }

        public BinaryNode(T element, BinaryNode<T> left, BinaryNode<T> right) {
            this.element = element;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }

        public String toString() {
            return element.toString();
        }
    }

    private BinaryNode<T> root;

    public BinarySearchTree() {
        root = null;
    }

    public void insert(T ele) {
        root = insert(ele, root);// 每次插入操作都會'更新'根節點.
    }

    private BinaryNode<T> insert(T ele, BinaryNode<T> root) {
        if (root == null)
            return new BinaryNode<T>(ele);
        int compareResult = ele.compareTo(root.element);
        if (compareResult > 0)
            root.right = insert(ele, root.right);
        else if (compareResult < 0)
            root.left = insert(ele, root.left);
        else
            ;
        return root;
    }

    public int height() {
        return height(root);
    }

    private int height(BinaryNode<T> root) {
        if (root == null)
            return -1;// 葉子節點的高度為0,空樹的高度為-1

        return 1 + (int) Math.max(height(root.left), height(root.right));
    }

    public static void main(String[] args) {
        BinarySearchTree<Integer> intTree = new BinarySearchTree<>();
                //統計每棵樹有63個節點,共30棵樹的平均高度
        double averHeight = intTree.averageHeigth(30, 63, intTree);
        System.out.println("averageheight = " + averHeight);
    }

    public double averageHeigth(int tree_numbers, int node_numbers, BinarySearchTree<Integer> tree) {
        int tree_height, totalHeight = 0;
        for(int i = 1; i <= tree_numbers; i++){
            int[] randomNumbers = C2_2_8.algorithm3(node_numbers);//每棵樹隨機生成一組序列,該序列作為節點的值
            //build tree
            for(int j = 0; j < node_numbers; j++)//將一組節點插入到樹中
            {
                tree.insert(randomNumbers[j]);
                System.out.print(randomNumbers[j] + " ");
            }
            System.out.println();
            tree_height = tree.height();
            System.out.println("height:" + tree_height);
    
            totalHeight += tree_height;//統計樹高之和
            tree.root = null;//for building next tree， 參考insert()實現
        }
    return (double)totalHeight / tree_numbers;
    }
}