埃及分數 ----- 迭代加深搜索

題目：埃及分數

題目鏈接：http://codevs.cn/problem/1288/

題目大意：

　　給出一個分數，由分子a 和分母b 構成，現在要你分解成一系列互不相同的單位分數（形如：1/a，即分子為1），要求：分解成的單位分數數量越少越好，如果數量一樣，最小的那個單位分數越大越好。

如：

　　19/45 = 1/3 + 1/12 + 1/180;

　　19/45 = 1/5 + 1/6 + 1/18;

　　以上兩種分解方法都要3個單位分數，但下面一個的最小單位分數1/18比上一個1/180大，所以第二個更優。

思路：

　　雖然是求最優解，但這道明顯不是廣搜吧（空間要求太高），而且很明顯是用深搜做，即從1~無窮，每一個分母，都有選中和不選中兩種狀態，如果選中，那么就減去這個分數，沒有就是跳過，但無窮到底是哪里呢，而且具體要選幾個呢，這就是這道題的難點。因為多組答案的優先級是由單位分數的個數首先決定，那么我們可以逐次放寬個數的限制，即迭代加深搜索。

　　迭代加深搜索的具體內容：第一次，我限制只能用k個單位分數來完成，如果找完所有情況，還是沒找到解，那么我現在用k+1個單位分數解決，這樣優點如下：

　　1. 肯定保證最優解，因為我用k個來完成分解就說明比k小的個數分解不出來，如果分解得出來，我在那時就退出循環了。

　　2. 雖然看似重復進行了很多遍的搜索，但上一層的搜索量和下一層比起來太少了，不影響總的時間復雜度。

拋開逐步解開個數限制外，每一個個數限制下的做法和平常的深入優先搜索大致相同，要注意剪枝！

主要的兩個剪枝如下：

　　1. 限制開頭：並不是每次都要從1開始遍歷分母，假設現在要分解a/b，那么分母b/a就是起點，因為b/a的分數太大，起始點已經超過了a/b，沒有什么意義：1/(b/a)=a/b ，假設起點s<b/a，那么顯而易見，起點的分數已經比我們要的總和（a/b）大了。

　　2. 限制結尾：

　　　　（1）比較簡單的限制結尾可以這樣看：如果我已經找到分母k了，而現在要分解得分數是a/b，現在還要找m個單位分數，那么可以想象：有可能 m * ( 1/k ) 還小於a/b，也就是說就算全是1/k，我湊夠m個，也達不到a/b，那么說明前面的分配方案肯定有無，直接可以return了。加上這個剪枝已經可以得到答案了，只是時間有點慢罷了。

　　　　（2）現在我們假設終點為t，還要找m個單位分數，現在的分數剩下a/b，那么很容易有m * (1/t) <= a / b  ，也就是說我如果m個都用最小的，肯定小於等於a/b。（等於號就是說有可能m=1，我可能直接終點就是答案，如果m>1，那么終點肯定也不可能選到，假設選了（后面還要選（m-1）個，肯定湊不夠）這樣子，由上面的式子，經過變換，可以得到 t >= m*b/a ，也就是說終點為m*b/a。

有了思路代碼還是很容易的：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>

int gcd(int a,int b)
{
  return b?gcd(b,a%b):a;
}

int ans[1000],ao;
int out[1000],oo;

void dfs(int limit,int h,int ma,int mb)
{
  if(h==limit) return ;
  if(mb%ma==0 && mb/ma>ans[ao-1] && ( oo<=0 || mb/ma < out[oo-1] ))
  {
    ans[ao++]=mb/ma;
    oo=ao;
    memcpy(out,ans,sizeof(ans));
    ao--;
    return ;
  }
  int i=mb/ma-1;
  if(i<=ans[ao-1]) i=ans[ao-1]; //ans[ao-1]就是前面找過的最后一個，這前面的都處理過（選中or不選中）
  int j=(limit-h)*mb/ma;
  while(++i<=j)
  {
    if(oo>0&&i>=out[oo-1]) return ;
    int g=gcd(i,mb);
    int k=i/g;
    //if(ma*i/mb+h>limit) return ;
    int x=mb*k;
    int y=ma*k-mb/g;
    if(y<0) continue;
    ans[ao++]=i;
    if(y==0)
    {
      oo=ao;
      memcpy(out,ans,sizeof(ans));
      ao--;
      return ;
    }
    dfs(limit,h+1,y,x);
    ao--;
  }
}

int main()
{
  int a,b;
  while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
  {
    ao=0;
    oo=0;
    for(int i=1;i<100;i++)
    {
      //printf("%d\n",i);
      dfs(i,0,a,b);
      if(oo>0) break;
    }
    for(int i=0;i<oo;i++)
    {
      if(i!=0) printf(" ");
      printf("%d",out[i]);
    }
    printf("\n");
  }
  return 0;
}