DLT（Direct Linear Transform）算法

本文轉載自查看原文 2016-04-03 15:44 6533

1、DLT定義

DLT是一個用於解決包含尺度問題的最小二乘問題的算法。

DLT解決問題的標准形式為：

${x_k}{\propto}A{y_k}$ (1)

另一種表現形式為：

${x_k}={\alpha}A{y_k}$ 或者 ${\alpha}{x_k}=A{y_k}$ (2)

這種模型在投影幾何中會經常遇到。

例如，針孔相機投影模型，3D點到圖像平面的投影關系；

兩視圖幾何中的單應性矩陣（Homography）;

2、DLT求解

因為尺度 $\alpha$ 的存在，因為不能用線性齊次最小二乘法直接求解。

由（1）（2）式子可知：和的方向是相同的，即叉乘結果為0：

${x_k}{\times}A{y_k}=0$

對（3）用叉乘矩陣來表示：

${\left[{{x_k}}\right]_\times}A{y_k}=0$ (4)

對於（4）式，可參考：向量叉乘與叉乘矩陣

對（4）式進行變型就可以得到一個線性齊次最小二乘求解問題。可以參考：最小二乘法

3、舉例

${\alpha}{x_k}=A{y_k}$

${x_k}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{1k}}}\\ {{x_{2k}}} \end{array}}\right]$ ${y_k}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{y_{1k}}}\\ {{y_{2k}}}\\ {{y_{3k}}} \end{array}}\right]$ $A=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}} \end{array}}\right]$

由公式（4）：

${\left[{{x_k}}\right]_\times}A{y_k}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{2k}}}&{-{x_{1k}}} \end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}} \end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{y_{1k}}}\\ {{y_{2k}}}\\ {{y_{3k}}} \end{array}}\right]$

展開：

$\begin{array}{l} {\left[{{x_k}}\right]_\times}A{y_k}=\;{a_{11}}{x_{2k}}{y_{1k}}-{a_{21}}{x_{1k}}{y_{1k}}+{a_{12}}{x_{2k}}{y_{2k}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-{a_{22}}{x_{1k}}{y_{2k}}+{a_{13}}{x_{2k}}{y_{3k}}-{a_{23}}{x_{1k}}{y_{3k}} \end{array}$

寫成矩陣的形式：

${\left[{{x_k}}\right]_\times}A{y_k}={b_k}a=0$

其中：

${b_k}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{2k}}{y_{1k}}}\\ {-{x_{1k}}{y_{1k}}}\\ {{x_{2k}}{y_{2k}}}\\ {-{x_{1k}}{y_{2k}}}\\ {{x_{2k}}{y_{3k}}}\\ {-{x_{1k}}{y_{3k}}} \end{array}}\right]$ $a=\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}\\ {{a_{21}}}\\ {{a_{12}}}\\ {{a_{22}}}\\ {{a_{13}}}\\ {{a_{23}}} \end{array}}\right]$

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