前言
本系列為機器學習算法的總結和歸納，目的為了清晰闡述算法原理，同時附帶上手代碼實例，便於理解。
目錄
組合算法（Ensemble Method）
機器學習算法總結
本章為線性回歸，內容包括模型介紹及代碼實現（包括自主實現和sklearn案例）。
一、算法簡介
1.1 什么是回歸分析
回歸分析是一種預測性的建模技術，它研究的是因變量（目標）和自變量（預測器）之間的關系。這種技術通常用於預測分析，時間序列模型以及發現變量之間的因果關系。通常使用曲線/線來擬合數據點，目標是
使曲線到數據點的距離差異最小。
1.2 線性回歸
線性回歸是回歸問題中的一種，線性回歸假設目標值與特征之間線性相關，即滿足一個多元一次方程。通過構建損失函數，來求解損失函數最小時的參數w和b。通長我們可以表達成如下公式：
y^為預測值，自變量x和因變量y是已知的，而我們想實現的是預測新增一個x，其對應的y是多少。因此，為了構建這個函數關系，目標是通過已知數據點，求解線性模型中w和b兩個參數。
1.3 目標/損失函數
求解最佳參數，需要一個標准來對結果進行衡量，為此我們需要定量化一個目標函數式，使得計算機可以在求解過程中不斷地優化。
針對任何模型求解問題，都是最終都是可以得到一組預測值y^ ，對比已有的真實值 y ，數據行數為 n ，可以將損失函數定義如下：
即預測值與真實值之間的平均的平方距離，統計中一般稱其為
MAE(mean square error)均方誤差。把之前的函數式代入損失函數，並且將需要求解的參數w和b看做是函數L的自變量，可得
現在的任務是求解最小化L時w和b的值，
即核心目標優化式為
求解方式有兩種：
1）最小二乘法(least square method)
求解 w 和 b 是使損失函數最小化的過程，在統計中，稱為線性回歸模型的最小二乘“參數估計”(parameter estimation)。我們可以將 L(w,b) 分別對 w 和 b 求導，得到
令上述兩式為0，可得到 w 和 b 最優解的閉式(closed-form)解：
2）梯度下降(gradient descent)
梯度下降核心內容是對自變量進行不斷的更新（針對w和b求偏導），使得目標函數不斷逼近最小值的過程
這里不做展開講解。
二、代碼實現
2.1 簡單線性回歸
首先建立linear_regression.py文件，用於實現線性回歸的類文件，包含了線性回歸內部的核心函數：
View Code
View Code
# -*- coding: utf-8 -*- import numpy as np class LinerRegression(object): def __init__(self, learning_rate=0.01, max_iter=100, seed=None): np.random.seed(seed) self.lr = learning_rate self.max_iter = max_iter self.w = np.random.normal(1, 0.1) self.b = np.random.normal(1, 0.1) self.loss_arr = [] def fit(self, x, y): self.x = x self.y = y for i in range(self.max_iter): self._train_step() self.loss_arr.append(self.loss()) # print('loss: \t{:.3}'.format(self.loss())) # print('w: \t{:.3}'.format(self.w)) # print('b: \t{:.3}'.format(self.b)) def _f(self, x, w, b): return x * w + b def predict(self, x=None): if x is None: x = self.x y_pred = self._f(x, self.w, self.b) return y_pred def loss(self, y_true=None, y_pred=None): if y_true is None or y_pred is None: y_true = self.y y_pred = self.predict(self.x) return np.mean((y_true - y_pred)**2) def _calc_gradient(self): d_w = np.mean((self.x * self.w + self.b - self.y) * self.x) d_b = np.mean(self.x * self.w + self.b - self.y) return d_w, d_b def _train_step(self): d_w, d_b = self._calc_gradient() self.w = self.w - self.lr * d_w self.b = self.b - self.lr * d_b return self.w, self.b
建立 train.py 文件，用於生成模擬數據，並調用 liner_regression.py 中的類，完成線性回歸任務：
# -*- coding: utf-8 -*- import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from liner_regression import * def show_data(x, y, w=None, b=None): plt.scatter(x, y, marker='.') if w is not None and b is not None: plt.plot(x, w*x+b, c='red') plt.show() # data generation np.random.seed(272) data_size = 100 x = np.random.uniform(low=1.0, high=10.0, size=data_size) y = x * 20 + 10 + np.random.normal(loc=0.0, scale=10.0, size=data_size) # plt.scatter(x, y, marker='.') # plt.show() # train / test split shuffled_index = np.random.permutation(data_size) x = x[shuffled_index] y = y[shuffled_index] split_index = int(data_size * 0.7) x_train = x[:split_index] y_train = y[:split_index] x_test = x[split_index:] y_test = y[split_index:] # visualize data # plt.scatter(x_train, y_train, marker='.') # plt.show() # plt.scatter(x_test, y_test, marker='.') # plt.show() # train the liner regression model regr = LinerRegression(learning_rate=0.01, max_iter=10, seed=314) regr.fit(x_train, y_train) print('cost: \t{:.3}'.format(regr.loss())) print('w: \t{:.3}'.format(regr.w)) print('b: \t{:.3}'.format(regr.b)) show_data(x, y, regr.w, regr.b) # plot the evolution of cost plt.scatter(np.arange(len(regr.loss_arr)), regr.loss_arr, marker='o', c='green') plt.show()
2.2 sklearn實現
sklearn.linear_model提供了很多線性模型，包括嶺回歸、貝葉斯回歸、Lasso等。本文主要嘗試使用嶺回歸Ridge，該函數一共有8個參數，詳見
View Code
嶺回歸是縮減法的一種，相當於對回歸系數的大小施加了限制。另一種很好的縮減法是lasso。lasso難以求解，但可以使用計算簡便的逐步線性回歸方法求的近似解。
# -*-coding:utf-8 -*- import numpy as np from bs4 import BeautifulSoup import random def scrapePage(retX, retY, inFile, yr, numPce, origPrc): """ 函數說明:從頁面讀取數據，生成retX和retY列表 Parameters: retX - 數據X retY - 數據Y inFile - HTML文件 yr - 年份 numPce - 樂高部件數目 origPrc - 原價 Returns: 無 """ # 打開並讀取HTML文件 with open(inFile, encoding='utf-8') as f: html = f.read() soup = BeautifulSoup(html) i = 1 # 根據HTML頁面結構進行解析 currentRow = soup.find_all('table', r = "%d" % i) while(len(currentRow) != 0): currentRow = soup.find_all('table', r = "%d" % i) title = currentRow[0].find_all('a')[1].text lwrTitle = title.lower() # 查找是否有全新標簽 if (lwrTitle.find('new') > -1) or (lwrTitle.find('nisb') > -1): newFlag = 1.0 else: newFlag = 0.0 # 查找是否已經標志出售，我們只收集已出售的數據 soldUnicde = currentRow[0].find_all('td')[3].find_all('span') if len(soldUnicde) == 0: print("商品 #%d 沒有出售" % i) else: # 解析頁面獲取當前價格 soldPrice = currentRow[0].find_all('td')[4] priceStr = soldPrice.text priceStr = priceStr.replace('$','') priceStr = priceStr.replace(',','') if len(soldPrice) > 1: priceStr = priceStr.replace('Free shipping', '') sellingPrice = float(priceStr) # 去掉不完整的套裝價格 if sellingPrice > origPrc * 0.5: print("%d\t%d\t%d\t%f\t%f" % (yr, numPce, newFlag, origPrc, sellingPrice)) retX.append([yr, numPce, newFlag, origPrc]) retY.append(sellingPrice) i += 1 currentRow = soup.find_all('table', r = "%d" % i) def ridgeRegres(xMat, yMat, lam = 0.2): """ 函數說明:嶺回歸 Parameters: xMat - x數據集 yMat - y數據集 lam - 縮減系數 Returns: ws - 回歸系數 """ xTx = xMat.T * xMat denom = xTx + np.eye(np.shape(xMat)[1]) * lam if np.linalg.det(denom) == 0.0: print("矩陣為奇異矩陣,不能求逆") return ws = denom.I * (xMat.T * yMat) return ws def setDataCollect(retX, retY): """ 函數說明:依次讀取六種樂高套裝的數據，並生成數據矩陣 Parameters: 無 Returns: 無 """ scrapePage(retX, retY, './lego/lego8288.html', 2006, 800, 49.99) #2006年的樂高8288,部件數目800,原價49.99 scrapePage(retX, retY, './lego/lego10030.html', 2002, 3096, 269.99) #2002年的樂高10030,部件數目3096,原價269.99 scrapePage(retX, retY, './lego/lego10179.html', 2007, 5195, 499.99) #2007年的樂高10179,部件數目5195,原價499.99 scrapePage(retX, retY, './lego/lego10181.html', 2007, 3428, 199.99) #2007年的樂高10181,部件數目3428,原價199.99 scrapePage(retX, retY, './lego/lego10189.html', 2008, 5922, 299.99) #2008年的樂高10189,部件數目5922,原價299.99 scrapePage(retX, retY, './lego/lego10196.html', 2009, 3263, 249.99) #2009年的樂高10196,部件數目3263,原價249.99 def regularize(xMat, yMat): """ 函數說明:數據標准化 Parameters: xMat - x數據集 yMat - y數據集 Returns: inxMat - 標准化后的x數據集 inyMat - 標准化后的y數據集 """ inxMat = xMat.copy() #數據拷貝 inyMat = yMat.copy() yMean = np.mean(yMat, 0) #行與行操作，求均值 inyMat = yMat - yMean #數據減去均值 inMeans = np.mean(inxMat, 0) #行與行操作，求均值 inVar = np.var(inxMat, 0) #行與行操作，求方差 # print(inxMat) print(inMeans) # print(inVar) inxMat = (inxMat - inMeans) / inVar #數據減去均值除以方差實現標准化 return inxMat, inyMat def rssError(yArr,yHatArr): """ 函數說明:計算平方誤差 Parameters: yArr - 預測值 yHatArr - 真實值 Returns: """ return ((yArr-yHatArr)**2).sum() def standRegres(xArr,yArr): """ 函數說明:計算回歸系數w Parameters: xArr - x數據集 yArr - y數據集 Returns: ws - 回歸系數 """ xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).T xTx = xMat.T * xMat #根據文中推導的公示計算回歸系數 if np.linalg.det(xTx) == 0.0: print("矩陣為奇異矩陣,不能求逆") return ws = xTx.I * (xMat.T*yMat) return ws def crossValidation(xArr, yArr, numVal = 10): """ 函數說明:交叉驗證嶺回歸 Parameters: xArr - x數據集 yArr - y數據集 numVal - 交叉驗證次數 Returns: wMat - 回歸系數矩陣 """ m = len(yArr) #統計樣本個數 indexList = list(range(m)) #生成索引值列表 errorMat = np.zeros((numVal,30)) #create error mat 30columns numVal rows for i in range(numVal): #交叉驗證numVal次 trainX = []; trainY = [] #訓練集 testX = []; testY = [] #測試集 random.shuffle(indexList) #打亂次序 for j in range(m): #划分數據集:90%訓練集，10%測試集 if j < m * 0.9: trainX.append(xArr[indexList[j]]) trainY.append(yArr[indexList[j]]) else: testX.append(xArr[indexList[j]]) testY.append(yArr[indexList[j]]) wMat = ridgeTest(trainX, trainY) #獲得30個不同lambda下的嶺回歸系數 for k in range(30): #遍歷所有的嶺回歸系數 matTestX = np.mat(testX); matTrainX = np.mat(trainX) #測試集 meanTrain = np.mean(matTrainX,0) #測試集均值 varTrain = np.var(matTrainX,0) #測試集方差 matTestX = (matTestX - meanTrain) / varTrain #測試集標准化 yEst = matTestX * np.mat(wMat[k,:]).T + np.mean(trainY) #根據ws預測y值 errorMat[i, k] = rssError(yEst.T.A, np.array(testY)) #統計誤差 meanErrors = np.mean(errorMat,0) #計算每次交叉驗證的平均誤差 minMean = float(min(meanErrors)) #找到最小誤差 bestWeights = wMat[np.nonzero(meanErrors == minMean)] #找到最佳回歸系數 xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).T meanX = np.mean(xMat,0); varX = np.var(xMat,0) unReg = bestWeights / varX #數據經過標准化，因此需要還原 print('%f%+f*年份%+f*部件數量%+f*是否為全新%+f*原價' % ((-1 * np.sum(np.multiply(meanX,unReg)) + np.mean(yMat)), unReg[0,0], unReg[0,1], unReg[0,2], unReg[0,3])) def ridgeTest(xArr, yArr): """ 函數說明:嶺回歸測試 Parameters: xMat - x數據集 yMat - y數據集 Returns: wMat - 回歸系數矩陣 """ xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).T #數據標准化 yMean = np.mean(yMat, axis = 0) #行與行操作，求均值 yMat = yMat - yMean #數據減去均值 xMeans = np.mean(xMat, axis = 0) #行與行操作，求均值 xVar = np.var(xMat, axis = 0) #行與行操作，求方差 xMat = (xMat - xMeans) / xVar #數據減去均值除以方差實現標准化 numTestPts = 30 #30個不同的lambda測試 wMat = np.zeros((numTestPts, np.shape(xMat)[1])) #初始回歸系數矩陣 for i in range(numTestPts): #改變lambda計算回歸系數 ws = ridgeRegres(xMat, yMat, np.exp(i - 10)) #lambda以e的指數變化，最初是一個非常小的數， wMat[i, :] = ws.T #計算回歸系數矩陣 return wMat def useStandRegres(): """ 函數說明:使用簡單的線性回歸 Parameters: 無 Returns: 無 """ lgX = [] lgY = [] setDataCollect(lgX, lgY) data_num, features_num = np.shape(lgX) lgX1 = np.mat(np.ones((data_num, features_num + 1))) lgX1[:, 1:5] = np.mat(lgX) ws = standRegres(lgX1, lgY) print('%f%+f*年份%+f*部件數量%+f*是否為全新%+f*原價' % (ws[0],ws[1],ws[2],ws[3],ws[4])) def usesklearn(): """ 函數說明:使用sklearn Parameters: 無 Returns: 無 """ from sklearn import linear_model reg = linear_model.Ridge(alpha = .5) lgX = [] lgY = [] setDataCollect(lgX, lgY) reg.fit(lgX, lgY) print('%f%+f*年份%+f*部件數量%+f*是否為全新%+f*原價' % (reg.intercept_, reg.coef_[0], reg.coef_[1], reg.coef_[2], reg.coef_[3])) if __name__ == '__main__': usesklearn()