題目要求
問題描述：將1到N的連續整數組成的集合划分為兩個子集合，且保證每個集合的數字和相等。例如，對於N=4，對應的集合{1,2,3,4}，能被划分為{1,4}、{2,3}兩個集合，使得1+4=2+3，且划分方案只有此一種。編程實現給定任一正整數N(1<=N<=39)，輸出其符合題意的划分方案數。
樣例輸入1：3
樣例輸出1：1 （可划分為{1,2}、{3}）
樣例輸入2：4
樣例輸出2：1 （可划分為{1,3}、{2,4}）
樣例輸入3：7
樣例輸出3：4 （可划分為{1,6,7}、{2,3,4,5}，或{1,2,4,7}、{3,5,6}，或{1,3,4,6}、{2,5,7}，或{1,2,5,6}、{3,4,7}）
解決方案
此題的解決方案有多種，但基本思想是動態規划。
首先，觀察子集合的和。
對於任一正整數N，集合{1,2,3...N}的和為：
，
那么將集合S划分為兩個和相等的子集合后，其子集合C中的整數和必為：
。
例如對於正整數4，集合{1,2,3,4}的和為S=4*(4+1)/2=10，那么將其划分為和相等的兩個子集合后，其子集合C中的整數和為sum=S/2=5。
於是，此題就轉化為在集合{1,2,3...N}中，任意選取k個數，使其和為N*(N+1)/4的問題，換句話說，就是限制子集合和為N(N+1)/4時，集合{1,2,3...,N}中可提供的整數選取方案數。
此描述隱含兩個條件：第一，N*(N+1)除以4必須為整數，否則無法選取；第二，在選出k個數的所有方案中，每個方案都有其互補的方案。還是拿整數4舉例，對於集合{1,2,3,4}，任選k個數，使其和為4*(4+1)/4=5時，有兩種方案{1,4}和{2,3}，這兩種方案互補構成所有整數集合，並生成一種集合划分方案。由此可得出，將選取k個數的所有方案數除以2，就是集合N划分為相等的子集合的方案數。
接下來，從集合S中往出選k個數，使其和為N*(N+1)/4，看有多少種選取方案。
給定集合S={1,2,3...,N}，我們將其一字排開，挨個判斷每個數是否應該加入到滿足整數和為N*(N+1)/4的子集合C。對於每個數，要么可以被加入到集合C，要么不可以被加入，只有這兩種可能。那么如何知道當前的整數是否應該加入子集合呢？由於這個子集合的和與單個整數大小有懸殊，我們似乎一眼看不出來。既然這樣，我們不妨縮小問題規模來漸進考慮，而縮小問題規模的常見切入點是減小“自變量”的規模。
重讀“接下來...”那句話，發現其中有兩個條件，一個目的。目的是“有多少種選取方案”，這就是因變量。條件是“選出k個數”和“使其和為N(N+1)/4”，這就是兩個自變量，一個限制選取的整數，另一個限制選出的整數的和。既然有了自變量和因變量，不如定義個函數出來更好的描述問題：
在函數F(i, sum)中，i代表當前需要判斷集合S中第i個數是否應該加入子集合，sum代表此時限制的子集合整數和大小，F(i, sum)代表限制子集合整數和為sum時，集合{0,1,2...,i-1,i}中可提供的選取方案。（如果有點蒙，繼續往下看，后面會附圖...事實證明多看幾遍就理解了...）
如果我們要減小自變量規模，就要從上面兩個自變量下手。先看選取的整數，集合S中的最小整數是1，我們加入一個更小的整數0（顯然，0不會影響集合的划分）來輔助思考。對於選出的整數的和，也就是限制的子集合的整數和，我們也從最小的0開始判斷，那么問題的最小規模就是：限制子集合的整數和為0時，考慮整數0是否可以加入子集合？這個問題的答案是肯定的，當子集合的和為0時，完全可以將0加入，且僅有次一種方案，那么用上述函數來表達就是：
明白了此點，也就順利地得出：F(0, 1)=F(0, 2)=F(0, 3)...=F(0, N)=0，因為限制子集合整數和大於0時，光有0無論如何也不能選出符合此限制的整數集合，即可行方案數為0。
邁出第一步，后面的就好辦了...這是安慰人，事實是前方高能，更費心神！
為避免詞語重復，下面說S中第i個元素時，就是指第i個整數。
假設此時，S中前i-1個元素都判斷完了，緊接着應該判斷第i個元素，與此同時，子集合的整數和被限定為sum，那么這第i個元素要不要被加入子集合呢？對此，我們做如下推斷：
1：如果這第i個元素本身大於子集合的整數和sum，即i>sum，那么這第i個元素肯定不能加入子集合，否則就超出子集合整數和限制了。此時：F(i, sum)=F(i-1, sum)，意思就是在相等的子集合整數和限制下，既然第i個元素沒被加入，那么判斷完第i個元素后的整數選取方案與判斷完第i-1個數時的方案應該是相同的。
2：如果這第i個元素小於子集合整數和，那么就有兩種考慮：
2.1：堅持不把第i個元素放入子集合，那么此時整數的選取方案仍然有F(i-1, sum)種。
2.2：如果把第i個元素放入了子集合，那么此時整數的選取方案有F(i-1, sum-i)種，sum-i的含義在於既然要放入第i個元素，就要給它留下足夠的空間。F(i-1, sum-i)是在肯定要放入元素i的情形下，放入元素i前，整數的選取方案。
也即是說，i<=sum時，F(i, sum)=F(i-1, sum)+F(i-1, sum-i)。
綜上可得：
如果覺得這個式子還是比較蒙圈，那還是從具體的解決方案入手深化理解，畢竟理論都是抽象的，不好琢磨。
下面的解決方案中，我們均設定N=4，那么集合S={1,2,3,4}對應的最終子集合的整數和就是4*(4+1)/4=5，即求F(4, 5)的值。
解決方案一
先對可能出現的圖例做說明：
圖零：
當對第0個元素判斷時：
>若子集合整數和限定為0，那么只有把0放入子集合這一種可能。若子集合整數和大於0，那么放入0顯然不能滿足題意，故其選取方案均為0。
圖一：
當對第1個元素判斷時：
>限定子集合整數和為1：若要將元素1放入子集合，則1之前子集合中的元素和必須為1-1=0；若不放入元素1，則1之前子集合中的元素和必須為1，故在此子集合整數和限制下，加入1和不加入1就組成了兩種方案，且這兩種方案數的和為：F[1,1]=F[0,0]+F[0,1]；
>限定子集合整數和為2：若要將元素1放入子集合，則1之前子集合中的元素和必須為2-1=1；若不放入元素1，則1之前子集合中的元素和必須為2，即：F[1,2]=F[0,1]+F[0,2]；
>依次類推：F[1,3]=F[0,2]+F[0,3]；F[1,4]=F[0,3]+F[0,4]；F[1,5]=F[0,4]+F[0,5]；
>注意最后：當選取的元素i（縱向）大於子集合整數和（橫向）時，F[i, sum]=F[i-1, sum]；也就是說，此時的元素i肯定放不進子集合，那么它滿足題意的選取方案與上一個元素的方案一致。
圖二：
圖三：
圖四：
最后，右下角的值F[i, sum]反應了所有滿足題意的子集合數，將其除以2才是集合S的划分方案數。
源碼示例一
解決方案二
由上面的解釋，不知道大家是否察覺到計算過程其實就是個遞歸過程，那么我們嘗試將其轉換為遞歸形式。
結合綜述中的式子，遞歸應該是最好被理解的，但是遞歸的缺點就是計算太慢...
源碼示例二
解決方案三
針對前面的敘述，換一個角度思考。
給定集合{0,1,2,3,4}，如果我們是按順序挑選的，那么要使選出的元素和為5，那么可以是選出元素和為5的組合，再把元素0加進來（如果之前的組合中沒有0），還可以先選出和為4的元素組合，再把元素1加進來（如果之前的組合中沒有1），或者，可以先選出和為3的元素組合，再把元素2加進來（如果之前的組合中沒有2），再或者，可以先選出和為2的元素組合，再把元素3加進來（如果之前的組合中沒有3）...最后，還可以是先選出和為0的組合，然后再把元素5加進來（如果之前的組合中沒有5）。
如果用S(sum)表示元素和為sum的一個組合，那么上面的敘述可表示為：
S(5)=S(5)+0； S(5)=S(4)+1； S(5)=S(3)+2； S(5)=S(2)+3； S(5)=S(1)+4； S(5)=S(0)+5；
現在，再換一個維度考慮。
仍然是集合{0,1,2,3,4}，如果我們按順序挑選到了i，那么i可能成為S(0)到S(5)任一組合中的元素之一。
如果i成了S(5)中的一份子，那么S(5)的組成方案數必定是沒加入i前S(5)已有的組成方案數加上加入i后S(4)的組成方案數。（定一定神，結合解決方案一考慮，每遍歷到一個元素i，都要加上之前遍歷過程中求出的解決方案數）。
下面上圖...
圖零：
當挑選到第0個元素時，顯然，構成S[0]只有一種方案，就是把0放入，其他S[1]到S[5]均為0。
圖一：
當挑選到第1個元素時，滿足S[5]的方案數等於當前已有的方案數（沒加入元素1之前）加上滿足S[4]的方案數（加上元素1），依次類推。
這里可能有兩個疑問，第一是當前已有的方案數（沒加入元素1）從何而來？事實上，這個方案數自初始化以來，就一直"傳遞"下去，並在遍歷到每個元素時，進行更新。另一個疑問是這里為什么倒着計算，即每遍歷到一個元素，先從S[5]計算，其實是S[4...1]。這個原因在於每次更新數據前，當前位置保持的是遍歷完上一個元素后的方案數，而計算當前遍歷元素下的方案數時，總是需要用到遍歷完上一個元素后的數據，所以，如果正着往后算，會造成數據錯亂。（不知道我說清楚了沒...）
舉例，假如剛剛遍歷完元素0，現在輪到遍歷元素1了，此時上圖數組的初始狀態分別存儲了遍歷完元素0后滿足子集合整數和為0、1、2、3、4、5的元素選取方案數。這個初始狀態來自於上個元素，而且要被復用，所以必須等使用完了才能再根據當前元素1的情形進行更新。由於其復用的規律是后面用到前面的數據，所以從后往前推算就不會造成混亂了。
圖二：
圖三：
圖四：
源碼示例三
結果展示
小結
好了，再說下去我也快蒙圈了...
動態規划題型很多，需大量練習才能領會。其核心思想就是計算后面的結果時，利用之前的結果。當不能一眼看出題目中的遞推關系時，不妨先找到題目的自變量去減小題目規模來逐步考慮，在考慮時，注意特殊情況的處理。
另外，將文字敘述變為公式推導也是重要的技能，唯有多練才可以掌握。
剛接觸動態規划的同學可以從0-1背包問題看起，這里有篇文章或許能給你帶來啟發：0-1背包問題和部分背包問題分析