從N個不同的球中取出M個，一共有多少種取法？
這個問題是組合數據的基本問題，考慮拿出球是否放回，拿出去的球是否有序，它有4種變體：
- 不放回，有序；
- 不放回，無序；
- 放回，無序；
- 放回，有序；
對於第一種，取出M個球，第一個有N種可能，第二個N-1種可能，依次類推，M個球共有:
N*(N-1)*(N-2)*..*(N-M+1)，
舉個例子：3個同學（A，B，C），從中取出2位同學，那么可能的組合是：
| A | B C |
| B | A C |
| C | A B |
共計6種，剛好是3*（3-2+1）=6種。
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接着看第二種，不放回，無序。由於是無序的，那么上面（無放回有序）的排列顯然存在重復，重復的次數正好等於M的全排列。因此它的組合數等於：
N*…*(N-M+1) / (M*(M-1)*…*1)
如果用推理計算的方式，我們可以得到一個遞歸式子：
f（n，m） = f（n-1，m）+f（n-1，m-1），表示如果包含頭元素f(n-1,m-1)種，不包含則為f(n-1,m)種。
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第三種，有放回，有序。由於是有序的，M個球，第一個有N種可能，第二個球也有N種可能，。。。。依次類推，因此共有N*N*。。。*N，共M個N相乘。
舉個例子，3個球A，B，C，取出2個，那么可能的組合是：
| A | A B C |
| B | A B C |
| C | A B C |
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第四種，有放回，無序，是這里面最麻煩的一種。最直觀的做法，是和“無放回”的對應的，類比它們的做法，在結果（3）上除以一個因子：M的全排列。但是這里略有區別，因為在“無放回”的例子中，取出的球是不同的，因此不同的排列是M的階乘；但是在本case中，取出的球是有重復的，再除以M！就不對了。舉個例子，3個球取2個，有放回，無序：
| A | A B C |
| B | B C |
| C | C |
顯然是6種，並不是3*3/2種，后者竟然不是個整數。
那么正確的建模方式是什么呢？
首先：把M次取出球當成是M個標簽（相同的標簽，因為是無序的），把這些標簽貼到任意的球上，都貼在一個球上也沒有關系。
然后：把每個球當成是一個盒子，標簽當成是盒子里的球
最后：把盒子一個挨着一個排成一列，如下圖所示：“-”代表盒子的底部，“|”代表盒子的壁。
|-|-|-|
一種可能的結果是：|o|o|-|,表示A，B被拿出；那么|oo||-|則表示A被拿出2次；
更一般的，可以得出不同的組合數等於：內壁的個數（N-1）+標簽個數（M) 個位置中選出M個用於標簽。這顯然是無放回無序的問題，也就是C（N-1+M，M）。
驗算一下，設N=3，M=2，則C（4,2）=6。和結果一致。