計算機為什么采用補碼來進行運算

基礎知識了解：

　　在計算機內，整數的長度是確定的，在字長為32位的計算機中，整數的長度就是32個二進制，這其中還包括了符號位（1表示正，0表示負）。這里面我們為了方便描述，就假設機器字長為8位。

例如，十進制整數23，二進制真值表示為10111，其原碼表示為 0001 0111。

十進制整數-23，二進制真值表示為-10111，原碼表示為 1001 0111。

簡而言之，源碼就是最高位為符號位，其他位表示該數的絕對值

如果計算機內部采用原碼表示數，那么在進行加法和減法運算的時候，最終都轉化為兩個絕對值的加運算和減運算，因此，在設計計算器的時候就既需要設計加法運算器，又要設計減法運算器(代價有點大，是否可以就用一種類型的運算器呢？ 其實大多數人都喜歡做加法運算，不太喜歡用減法運算)。

補碼的思想

　　我們希望只設計加法運算器，不用減法運算器，我們希望找到一種方案，采用這種方案做加運算 1 + ( -1 ) ，兩個數可以直接根據二進制的加法規則做運算，得到0，而不必做減法。

用 0000 0000表示0是很自然的想法，用 0000 0001到 0111 1111表示1到127的正數，也是自然的想法，此時，最高位的0可以做符號標識，也可以看成普通的二進制位。

現在問題是：怎么表示-1呢？

我們做一次逆向思維，0000 0001加上什么樣的二進制數可以得到0000 0000？即：從右向左思考，加數的最右邊的最低位必須是1，根據二進制加法規則：1+1=0，進位為1。再考慮次低位，加數的次低位也必須是1，然后加上1得0進一位，...依次類推，加數的8為都必須是1，才可以得到8個0。問題是最后產生一個進位，即：0000 0001 + （1111 1111）= 1 0000 0000

這在數學上是不可接受的，但是在計算機中去剛好合適，因為在設計中，每個數的長度是確定的，所以無論結果最后是多少，都只保留8位，多余的位會被丟棄。因此，我們可以將 1111 1111來表示-1，下面就是采用一種方式來合理的將-1怎么變成 1111 1111這種形式。

　　

　 補碼的定義：

　　帶符號整數有原碼、反碼、補碼等幾種編碼方式。原碼即直接將真值轉換為其相應的二進制形式，而反碼和補碼是對原碼進行某種轉換編碼方式。正整數的原碼、反碼和補碼都一樣，負數的反碼是對原碼的除符號位外的其他位進行取反后的結果（取反即如果該位為0則變為1而該位為1則變為0操作）而補碼是先求原碼的反碼，然后在反碼的末尾位加1后得到結果，即補碼是反碼+1
補碼就是最方便的方式。它的便利體現在，所有的加法運算可以使用同一種電路完成。
以-8作為例子。假定有兩種表示方法。一種是直覺表示法，即10001000；另一種是2的補碼表示法，即11111000。請問哪一種表示法在加法運算中更方便？
隨便寫一個計算式，16 + (-8) = ?
　　16的二進制表示是 00010000，所以用直覺表示法，加法就要寫成：

　　　　０００１００００
  　　 [phone]
  　　  －－－－－－－－－
　　　   １００１１０００

　　可以看到，如果按照正常的加法規則，就會得到10011000的結果，轉成十進制就是-24。顯然，這是錯誤的答案。也就是說，在這種情況下，正常的加法規則不適用於正數與負數的加法，因此必須制定兩套運算規則，一套用於正數加正數，還有一套用於正數加負數。從電路上說，就是必須為加法運算做兩種電路。
現在，再來看2的補碼表示法。

　　　　０００１００００
　　　[phone]
　　　－－－－－－－－－
　　　１００００１０００

　　可以看到，按照正常的加法規則，得到的結果是100001000。注意，這是一個9位的二進制數。我們已經假定這是一台8位機，因此最高的第9位是一個溢出位，會被自動舍去。所以，結果就變成了00001000，轉成十進制正好是8，也就是16 + (-8) 的正確答案。這說明了，2的補碼表示法可以將加法運算規則，擴展到整個整數集，從而用一套電路就可以實現全部整數的加法。

補碼的本質：

要將正數轉成對應的負數，其實只要用0減去這個數就可以了。比如，-8其實就是0-8。
已知8的二進制是00001000，-8就可以用下面的式子求出：

　　００００００００
  － ００００１０００
    －－－－－－－－－

因為00000000（被減數）小於0000100（減數），所以不夠減。請回憶一下小學算術，如果被減數的某一位小於減數，我們怎么辦？很簡單，問上一位借1就可以了。
所以，0000000也問上一位借了1，也就是說，被減數其實是100000000，算式也就改寫成：

　　１００００００００
　　－００００１０００
　　－－－－－－－－－
　　　１１１１１０００
進一步觀察，可以發現100000000 = 11111111 + 1，所以上面的式子可以拆成兩個：
　　　１１１１１１１１
　　－００００１０００
　　－－－－－－－－－
　　　１１１１０１１１
　　＋０００００００１
　　－－－－－－－－－
　　　１１１１１０００
補碼的兩個轉換步驟就是這么來的。（其中的 1111 1000 就是-8的補碼，是由對 000 1000 取反得到111 0111 加1 最終得到 111 1000，最后加上符號位1就是1111 1000）。這就是補碼計算規則的由來。