求平面散點集的凸包

本文參考自<<算法導論>>章節33.3 尋找凸包

完整VS2010工程見(包含測試數據與效果演示):

Graham算法主要利用向量的叉積判斷點和線段的位置關系,詳見 向量叉積,然后從左下角點按逆時針方向尋找最邊緣的線段,利用的原理就是從凸包上任意一點逆時針出發,每到一個節點,一定會向左拐.算法復雜度為O(nlg(n))

算法主要實現如下:

// 輸入:點數組arrInPt,個數nInPtCount,包含所有點
// 輸出:點數組arrOutPt,個數nOutPtCount,逆時針順序依次存放凸包上的點
static void Graham(Point arrInPt[],const int nInPtCount,Point arrOutPt[],int & nOutPtCount)
{
    // step 1:找到最靠近坐下角的點,放到p[0]位置
    // 保證p[0]的y值最小,若兩點y值相同,取x值較小者
    int nIndex = 0;
    for(int i = 1;i < nInPtCount;++i)
    {
        if(arrInPt[i].y < arrInPt[nIndex].y ||
            (arrInPt[i].y == arrInPt[nIndex].y && arrInPt[i].x < arrInPt[nIndex].x))
        {
            nIndex = i;
        }
    }
    Point tmp = arrInPt[0];
    arrInPt[0] = arrInPt[nIndex];
    arrInPt[nIndex] = tmp;

    // step 2:剩下的點p[1]--p[nInPtCount-1],按照與p[0]極角升序排序
    SortByPolarAngle(arrInPt,nInPtCount);

    // step 3:棧操作
    nOutPtCount = 0;
    // 前三個點入棧
    arrOutPt[nOutPtCount++] = arrInPt[0];
    arrOutPt[nOutPtCount++] = arrInPt[1];
    arrOutPt[nOutPtCount++] = arrInPt[2];
    for(int i = 3;i < nInPtCount;i++)
    {
        // 棧中最上面兩個點如果不與arrInPt[i]形成左轉,就進行出棧操作
        while(nOutPtCount > 1 && IfTurnLeft(arrOutPt[nOutPtCount-2],arrOutPt[nOutPtCount-1],arrInPt[i]) == false )
        {
            nOutPtCount--;
        }
        // arrInPt[i]入棧
        arrOutPt[nOutPtCount++] = arrInPt[i];
    }
}

Jarvis算法與Graham算法類似也是從左下角的點開始,依次搜尋與邊界點極角最小的點.算法復雜度為O(hn),h為邊界點的個數

// 輸入:點數組arrInPt,個數nInPtCount,包含所有點
// 輸出:點數組arrOutPt,個數nOutPtCount,逆時針順序依次存放凸包上的點
static void Jarvis(Point arrInPt[],const int nInPtCount,Point arrOutPt[],int & nOutPtCount)
{
    // step 1:找到最靠近坐下角的點,放到p[0]位置
    // 保證p[0]的y值最小,若兩點y值相同,取x值較小者
    nOutPtCount = 0;
    int nIndex = 0;
    for(int i = 1;i < nInPtCount;++i)
    {
        if(arrInPt[i].y < arrInPt[nIndex].y ||
            (arrInPt[i].y == arrInPt[nIndex].y && arrInPt[i].x < arrInPt[nIndex].x))
        {
            nIndex = i;
        }
    }
    Point tmp = arrInPt[0];
    arrInPt[0] = arrInPt[nIndex];
    arrInPt[nIndex] = tmp;
    // step : 尋找與p[nIndex]極角最小的那個點
    nIndex = 0;
    do 
    {
        arrOutPt[nOutPtCount++] = arrInPt[nIndex];
        nIndex = FindMinPolarAngle(arrInPt,nInPtCount,nIndex);
    } while (arrInPt[0] != arrInPt[nIndex]);                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  
}

經測試,兩種算法的效率差不多,10W個點以內,1s之內可以搞定,100w個點,Jarvis大約需要5秒多,Graham大約需要6s多,也就是h < log(n)時,Jarvis效率略優.測試機器為i5 3.10GHz

Graham效率:

Jarvis效率: