1. 引言
前一篇中介紹了字符串KMP算法，其利用失配時已匹配的字符信息，以確定下一次匹配時模式串的起始位置。本文所要介紹的Boyer-Moore算法是一種比KMP更快的字符串匹配算法，它到底是怎么快的呢？且聽下面分解。
不同於KMP在匹配過程中從左至右與主串字符做比較，Boyer-Moore算法是從模式串的尾字符開始從右至左做比較。下面討論的一些遞推式都與BM算法的這個特性有關。
思想
首先，我們一般化匹配失敗的情況，設主串\(y\)、模式串\(x\)的失配位置為i+j與i，且主串、模式串的長度各為\(n\)與\(m\)，如下圖：
已匹配上的字符結構：
失配后下一次匹配時，模式串應如何對齊於主串呢？從上圖中看出，我們可以利用兩方面的信息：
- 已經匹配上的字符結構，
- 主串失配位置的字符
前一篇中的KMP算法只利用第一條信息，而Boyer-Moore算法則是將這兩方面的信息都利用到了，故模式串的移動更為高效。同時，根據這兩方面信息（已匹配信息與失配信息），Boyer-Moore算法引申出來兩條移動規則：好后綴移動（good-suffix shift）與壞字符移動（bad-character shift）。
實例
Moore教授在這里給出BM算法一個實例，比如主串=HERE IS A SIMPLE EXAMPLE ，模式串=EXAMPLE。第一次匹配如下圖：
在第一次匹配中，模式串在尾字符發生失配，而主串的失配字符為S，且S不屬於模式串的字符；因此下一次匹配時模式串指針應向右移動7位（壞字符移動）。第二次匹配如下圖：
第二次匹配也是在模式串尾字符發生失配，但不同的是主串的失配字符為P屬於模式串的字符；因此下一次匹配時模式串的P（從右開始第一次出現）應對齊於主串的失配字符P（壞字符移動）。第三次匹配如下圖：
在第三次匹配中，模式串的后綴MPLE完全匹配上主串，主串的失配字符為I，不屬於模式串的字符；那么下一次匹配是模式串指針應怎么移動呢（是壞字符移動，還是好后綴移動？）？BM算法采取的辦法：移動步數=\(\max\{壞字符移動步數,\ 好后綴移動步數\}\)。（具體移動步數的計算會在下面給出），這里是按好后綴移動；第四次匹配如下圖：
第四次匹配的情況與第二次類似，應按壞字符移動，第五次匹配（模式串與主串完全匹配）如下圖：
2. BM算法詳述
好后綴移動
因已匹配上的字符結構正好為模式串的后綴，故名之為好后綴。好后綴移動一般分為兩種情況：
- 移動后，模式串有子串能完全匹配上好后綴；
- 移動后，模式串只有能部分匹配上好后綴的子串
我們用數組bmGs[i]表示模式串的失配位置為i時好后綴移動的步數。第一類情況如下圖：
第二類情況如下圖：
接下來的問題是應如何計算bmGs[i]呢？我們引入suff函數，其定義如下：
表示了模式串中末字符為x[i]的子串能匹配模式串后綴的最大長度。其中，suff[i]=m。
-
對於第一類情況，令
i+1=m-suff[a]，則x[i+1..m-1]=x[m-suff[a]..m-1]；根據suff函數的定義，有x[m-suff[a]..m-1]=x[a-suff[a]-1..a]；則x[i+1..m-1]=x[a-suff[a]-1..a]，即可得到bmGs[i]=bmGs[m-suff[a]-1]=m-1-a。 -
對於第二類情況，由字符的部分匹配可得
x[0..m-1-bmGs[i]]=x[bmGs[i]..m-1]，即suff[m-1-bmGs[i]]=m-bmGs[i]。令m-bmGs[i]=a，有suff[a-1]=a。因為是部分匹配，故bmGs[i] = m-a > i+1，則i < m-a-1。綜上，當i < m-a-1且suff[a-1]=a時，bmGs[i]=m-a。 -
有可能上述兩種情況都沒能被匹配上，則
bmGs[i]=m。
綜合上述三類情況，bmGs數組計算的實現代碼（參看[2]）：
void preBmGs(char *x, int m, int bmGs[]) {
int i, j, suff[XSIZE];
suffixes(x, m, suff);
// case 3, default value
for (i = 0; i < m; ++i)
bmGs[i] = m;
j = 0;
// case 2
for (i = m - 1; i >= 0; --i)
if (suff[i] == i + 1)
for (; j < m - 1 - i; ++j)
if (bmGs[j] == m)
bmGs[j] = m - 1 - i;
// case 1
for (i = 0; i <= m - 2; ++i)
bmGs[m - 1 - suff[i]] = m - 1 - i;
}
壞字符移動
壞字符移動是根據主串失配位置的字符y[i+j]而進行的移動。同樣地，我們用數組bmBc[c]表示主串失配位置字符為c時壞字符移動的步數。壞字符移動一般分為兩種情況：
-
模式串
x[0..i-1]有字符y[i+j]且第一次出現，如下圖：
-
整個模式串都不包含該字符串，如下圖：
據此，可以將bmBc[c]定義如下：
表示距模式串末字符最近的c字符；若c字符未出現在模式串中，則bmBc[c]=m。C實現代碼：
void preBmBc(char *x, int m, int bmBc[]) {
int i;
for (i = 0; i < ASIZE; ++i)
bmBc[i] = m;
for (i = 0; i < m - 1; ++i)
bmBc[x[i]] = m - i - 1;
}
suff函數計算
bmGs[i]的計算依賴於suff函數；如何更為高效的計算suff函數成為了接下來需要考慮的問題。符號標記的定義如下：
i表示當前位置；f記錄上一輪匹配的起始位置；g記錄上一輪匹配的失配位置。
這里所說的匹配指的是與模式串后綴的匹配。同樣地，一般化匹配過程，如下圖：
當g < i < f則必有x[i]=x[m-1-(f-i)]=x[m-1-f+i]；
- 若
suff[m-1-f+i] < i-g，則suff[i]=suff[m-1-f+i]； - 否則，
suff[i]與suff[m-1-f+i]沒有關系，要根據定義進行計算。
C實現代碼：
void suffixes(char *x, int m, int *suff) {
int f, g, i;
suff[m - 1] = m;
g = m - 1;
for (i = m - 2; i >= 0; --i) {
if (i > g && suff[i + m - 1 - f] < i - g)
suff[i] = suff[i + m - 1 - f];
else {
if (i < g)
g = i;
f = i;
while (g >= 0 && x[g] == x[g + m - 1 - f])
--g;
suff[i] = f - g;
}
}
}
復雜度分析
3. 參考資料
[1] Moore, Boyer-Moore algorithm example.
[2] Thierry Lecroq, Boyer-Moore algorithm.
[3] sealyao, Boyer-Moore算法學習.