原文地址:https://en.wikipedia.org/wiki/K-D-B-tree
計算機科學中，KDB-tree(k-dimensional B-tree)是一個用於划分K維搜索空間的樹形結構，KDB-tree的目的是提供平衡KD樹的搜索效率，同時提供B樹面向塊的存儲來優化外部內存的訪問。
介紹
類似於KD樹，KBD tree組織K維空間的點，有助於范圍搜索和多維數據庫查詢等操作。KDB tree通過在某個維度元素的比較將空間划分為兩個子空間。使用2-D-B-tree舉例子，空間划分使用和KD樹相同的方式：使用某個維度的一個點，其他值要么小於或者大於當前值，分別分到左邊和右邊的划分平面上。
不同於KD樹的地方，每個半空間不是自己的節點。而是和B樹類似，KDB-tree中的節點以頁來存儲，樹存儲一個指針，指向根頁。
結構
KDB-tree包括兩種類型的頁:
- 區域頁面: (region, child)對的集合包含邊界區域的描述，加上該區域指向子頁面的指針。
- 點頁面:(point, location)對的集合。數據庫方面，location可能指向數據庫記錄的索引，對於K維空間中的點，可以被看成該空間中的點坐標。
當向KDB樹插入元素時，導致節點的規模超過它的最優規模，頁面溢出。因為KDB-tree的目的是優化外部內存訪問，例如硬盤訪問，當節點的規模超過外部內存頁大小，一個葉被認為是溢出。
通過插入和刪除操作，KDB樹保持一些屬性:
- 該圖是一個多叉樹，區域頁面指向子頁面，並且不能為空。點頁面是葉子節點。
- 像B樹，對於所有查詢，到達葉節點的路徑長度是相同的。
- 如果根節點是區域頁面，區域的聯合是整個搜索空間。
- 當一個區域頁面的(region, child)對的兒子也是一個區域頁面，所有兒子區域的聯合是該頁面。
- 和上面例子相反，如果兒子是一個點頁面，兒子中所有點必須被該區域包含。
KDB-tree中的操作
查詢操作
KDB-tree中的查詢是所有軸上的區間范圍搜索。去見的集合被叫做查詢區域。在k空間中，查詢區域被視為整個k維空間中的一些子空間的邊界。查詢可以分為三種：
- 一些區間跨越整個空間，查詢叫做部分匹配查詢.
- 一些局域是點，其他是區域，所有查詢叫做部分匹配查詢。
- 局域是所有點，邊界也只是點，叫做精確匹配查詢。
算法：
- 如果樹的根是空，終止，否則讓頁是根。
- 如果頁是點頁，返回(region, child)對中在查詢區域中的所有點。
- 否則，頁面是區域頁面，對所有和查詢區域交叉的(region, child)對，設置頁面為兒子，遞歸執行步驟2。
插入操作
當頁溢出時，KDB-tree插入操作需要頁面的分裂操作，首先定義分裂操作。
分裂操作
首先，一個區域頁面沿某個平面被分裂成兩個新的區域頁面，左區域頁面和右區域頁面。這些頁面充滿舊區域的頁面，舊區域頁面被刪除了。然后，對於原區域的(region, child)，記住child是一個頁和區域指定一個真實的邊界區域：
- 如果區域完全位於左邊分裂平面，添加(region, child)到左邊平面。
- 如果區域完全位於右邊分裂平面，添加(region, child)到右邊平面。
- 否則：
- 遞歸通過分裂平面分裂兒子，導致new_left_page和new_right_page。
- 通過分裂平面分裂區域，導致left_region和right_region。
- 添加(left_region, new_left_page)到左邊頁面，添加(right_region, new_right_page)到右邊頁面。
插入算法
使用分裂算法，插入一個新的(point, location)對被實現如下：
- 如果根頁面是空，簡單的讓根頁面成為一個新的點頁面，包含(point, location).
- 如果一個點上的精確匹配查詢來來找到點應該加入的頁面，如果該點已經在該頁存在，終止。
- 添加(point, location)到該頁面，如果該頁面溢出了，讓頁面表示那個頁。
- 讓舊頁面等於新頁面。選擇一些元素和維度來定義分裂平面，產生兩個頁面，並且其中一個頁面不要因為新點的加入而溢出。分裂平面導致兩個新的頁面：new_left_page和new_right_page和兩個新的區域：left_region和right_region。
- 如果頁面不是根頁面，跳到步驟6。否則，頁面邊吃父頁面，用(left_region, new_left_page)和(right_region, new_right_page)取代(region, old_page).如果頁面溢出，重復步驟4，否則終止。
- 讓left_region成為左邊分裂平面的整個搜索空間，讓right_reigon成為右邊分裂平面的整個搜索空間，設置根頁面包含left_region和right_region.
選擇分裂平面和分裂元素是很重要的，因為我們想平衡兩個分裂平面的點數量。在一些情況下，錯誤的選擇會導致不滿意的分裂結果。也可能導致某個頁面不能被某個維度分割。
刪除操作
如果對存儲的使用沒有最小數量的要求，KDB-tree的刪除是一個非常簡單的。使用一個精確匹配查詢去找到(point, location)對，我們只是簡單的移除記錄。
重組算法
因為刪除會導致一些頁面僅包含非常少的數據，重組KDB-tree來滿足最小數目的存儲要求是必要的。重組算法被使用當一個頁面包含非常少的數據時，如下：
- 讓頁面成為p的父頁面，包含(region, P)
- 找到頁面中的區域以至於區域是鄰近的，區域的聯合形成矩陣區域。這些區域被認為是可連接的。讓R表示這些區域的集合。
- 組合集合R成為一個新的頁面S，如果S過多的，重復分裂直到結果頁面滿足要求。
- 用結果頁面來取代集合R。
相關工作
類似於KD-tree，更新KDB-tree可能會導致遞歸的分裂一些節點。這是非常沒有效率的，能導致幾乎空的葉節點。Lomet和Salzberg提出一個結構hB-Tree來提高KDB-tree的性能，該結構通過在插入一條根到頁的路徑來限制分裂。這被實現通過存儲區域為矩形。
最近，Bkd-tree被提出提供更快速的查詢，以及接近靜態KDB-tree的100%空間使用率。代替維護一棵樹和重新平衡，log2(N/M)的kdb-tree集合被維護定期重建。