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最近在看一本算法的書。講的都是一些基本的問題，並沒有涉及很復雜的算法，或者說這本書更看重技巧。
其中開篇就講了最大公約數的算法，覺得有可取之處，和大家分享一下。
提到最大公約數我們最先想到的一定是輾轉相除法。
沒錯，永遠不要蔑視我們的祖先，他們的智慧是無窮的。（扯遠了，嘿嘿）
我們都在用輾轉相除法來求最大公約數，卻很少去想為什么輾轉相除法就能求最大公約數呢？或者說怎么證明算法的正確性呢（至少我之前完全沒有想過）。
這里我們感性的認識一下輾轉相除法（不是很嚴格地證明一下）。
假設兩個數a,b且a>b。 設a除以b商k，余數為r，那么會有a=k*b+r，那么b和r的最大公約數，就是a和b的最大公約數。所以問題就轉換求成除數和余數的最大公約數，依次遞歸，遞歸的出口就是一個已知的條件：如果a能夠被b整除,那么b就是a和b的最大公約數，所以輾轉相除法遞歸代碼如下：
int GCD1(int num1,int num2)
{
if(num1%num2==0)
{
return num2;
}
else
{
int next1=num2;
int next2=num1%num2;
return GCD1(next1,next2);
}
}
還有一種我們耳熟能詳的求最大公約數的算法就是更相減損術，他的基本思想就是：兩個數a,b且a>b,那么令c=a-b，然后把 b和c看成新的a和b，遞歸下去，遞歸出口就是一個已知的條件：如果a=b，那么a和b的最大公約數就是a或b。其實更相減損術和輾轉相除法是一個東東，更相減損術就是讓輾轉相除法中的商（k）恆為1，所以大多數情況下，輾轉相除法的效率要比更相減損術的效率高。給出更相減損術的代碼：
int GCD2(int num1,int num2)
{
if(num1==num2)
{
return num2;
}
else
{
int next1= (num1>num2)? (num1-num2):(num2-num1);
int next2= (num1>num2)?num2:num1;
if(next1>next2)
{
return GCD2(next1,next2);
}
else
{
return GCD2(next2,next1);
}
}
}
好了，步入這次的正題：多個數求最大公約數（實際上就是輾轉相除法的擴展）給出算法：
設一組數a1，a2,a3,a4,a5..
（1）對這一組數進行排序（從大到小）
（2）對每兩個相鄰的兩個數進行如下操作：
設相鄰的兩個數為A和B（A在前，因為已經排序，所以A>B）,如果A=n*B（n為整數）,也就是A能夠被B整除，那么就令A=B；如果A不能被B整除則令A=A%B。
（3）重復（1）、（2）知道數組中每個數都相等，則最大公約數就為這個數。
給出完整程序：
#include<iostream>
using namespace std;
void Sort(int* num,int n);
int GCD3(const int* num,int n);
int main()
{
int num[4]={756,504,630,2226};
int result=GCD3(num,4);
cout<<"數組：";
for(int i=0;i<4;i++)
{
cout<<num[i]<<" ";
}
cout<<"的最大公約數為："<<result<<endl;
return 0;
}
int GCD3(const int* num,int n)
{
int *temp=new int[n];
for(int i=0;i<n;i++)
{
temp[i]=num[i];
}
do
{
if(temp[0]==temp[n-1])
{
break;
}
else
{
Sort(temp,n);//排序
for(int i=0;i<n-1;i++)
{
if(temp[i]%temp[i+1]==0)
{
temp[i]=temp[i+1];
}
else
{
temp[i]=temp[i]%temp[i+1];
}
}
}
}while(temp[0]!=temp[n-1]);
return temp[0];
}
//排序
void Sort(int* num,int n)
{
//冒泡排序法
for(int i=0;i<n-1;i++)
{
for(int j=i;j<n-1;j++)
{
if(num[i]<num[j+1])
{
int temp=num[i];
num[i]=num[j+1];
num[j+1]=temp;
}
}
}
}
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