正態QQ圖的原理
QQ圖通過把測試樣本數據的分位數與已知分布相比較，從而來檢驗數據的分布情況。QQ圖是一種散點圖,對應於正態分布的QQ圖,就是由標准正態分布的分位數為橫坐標,樣本值為縱坐標的散點圖。要利用QQ圖鑒別樣本數據是否近似於正態分布,只需看QQ圖上的點是否近似地在一條直線附近,圖形是直線說明是正態分布，而且該直線的斜率為標准差,截距為均值，用QQ圖還可獲得樣本偏度和峰度的粗略信息。圖形中有一段是直線，在兩端存在弧度，則可說明峰度的情況。圖形是曲線圖，說明不對稱。如果Q-Q圖是直線，當該直線成45度角並穿過原點時，說明分布與給定的正態分布完全一樣。如果是成45度角但不穿過原點，說明均值與給定的正態分布不同，如果是直線但不是45度角，說明均值與方差都與給定的分布不同。如果Q-Q圖中間部分是直線，但是右邊在直線下面，左邊在直線上面，說明分布的峰度大於3，反之說明峰度小於3；圖形是曲線圖，說明不對稱。
分位數（quantile fractile）又稱百分位點，或者下側分位數。 定義：設連續隨機變量X的分布函數為F(X)，密度函數為p(x)。那么，對任意0<p<1的p，稱F(X)=p的x為此分布的分位數，或者下側分位數。簡單的說，分位數指的就是連續分布函數中的一個點，這個點對應概率p。
R語言模擬
rd=rnorm(100)
plot(density(rd),main = "正態隨機變量概率密度",lwd=2)
points(rd,rep(0.01,100),pch=20,col=rainbow(100))通過上圖可以看出，產生的100個隨機數多數集中在[-1,1]之間，且均值為0。
t=rank(rd)/100 #求觀察累積概率
q=qnorm(t) #用累積概率求分位數值
plot(rd,q,main = "Q-Q圖",pch=20,col=rainbow(100)) #畫Q-Q圖
abline(0,1,lwd=2)第二次模擬1000個隨機數
n=1000
rd=rnorm(n)
plot(density(rd),main = "正態隨機變量概率密度",lwd=2)
points(rd,rep(0.01,n),pch=20,col=rainbow(n))t=rank(rd)/n #求觀察累積概率
q=qnorm(t) #用累積概率求分位數值
plot(rd,q,main = "Q-Q圖",pch=20,col=rainbow(n)) #畫Q-Q圖
abline(0,1,lwd=2)第三次模擬5000個隨機數
n=2000
rd=rnorm(n)
plot(density(rd),main = "正態隨機變量概率密度",lwd=2)
points(rd,rep(0.01,n),pch=20,col=rainbow(n))t=rank(rd)/n #求觀察累積概率
q=qnorm(t) #用累積概率求分位數值
plot(rd,q,main = "Q-Q圖",pch=20,col=rainbow(n)) #畫Q-Q圖
abline(0,1,lwd=2)可見，通過QQ圖可以看出，樣本值越大，隨機數的分布狀態越近似於正態分布。
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- 作者：ShangFR
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