轉自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_51cea4040100h152.html
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證明一：
首先，我們要抓住二分圖最大匹配后圖的特點，此時，不存在增廣路。如下圖所示，該圖為不完整的最大匹配后的二分圖：
紅點為匹配點，藍點為未匹配點。
對於一個點而言，他所連接的點有這三種情況：
1、只連接了紅點；
2、只連接了藍點；
3、連接了紅點和藍點。
在上面的圖中，x與y是所連接的邊是匹配邊。x連接了紅點和藍點，這個時候，y所連接的點一定沒有藍點，如果有，就是一條新的增廣路，那么該圖就不是最大匹配圖了。
另一天更明顯，就是在最大匹配圖中 不會出現一條邊同時連接着兩個藍點。
那么，對於一條邊而言，只有兩種情況：
1、兩端的點是紅點；
2、兩端的點一點是紅色，一點是藍色。
可知，一條邊上，一定有紅點，那么，我們就選擇紅點作為覆蓋點。
對於上面的匹配邊xy，我們無論是選擇x還是y都可以覆蓋xy這條邊，但是對於圖中的藍點而言，只能選擇x作為覆蓋點去覆蓋那條邊，這樣，我們就選擇x作為覆蓋點，它所覆蓋的邊中，既包括了與他相連的那些藍點的邊，也包括了xy這條匹配邊。因為y點沒有藍色連接點，所以，y不是必須選擇的覆蓋點，它與那些紅點相連的邊都可以選擇那些紅點來覆蓋邊。所以，對於一條匹配邊而言，我們只需要選擇其中一個點就可以覆蓋完整個二分圖里的邊了。
所以最小覆蓋點數等於最大匹配。
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證明二：
這是Matrix67的證明，ccy用自己的語言寫一下，O(∩_∩)O~~~~~~~~~~~~
Matrix67證明的鏈接：http://www.matrix67.com/blog/?s=%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%A6%86%E7%9B%96%E7%82%B9
對於一個已經匹配好的二分圖，我們進行如下操作，就可以找出一些點，使之覆蓋所有的邊。
規則如下：對於Y部所有未被匹配的點，我們就從它出發，找“交錯軌”，這里的“交錯軌”和匹配時的交錯軌很相似，他們一樣的地方都是從一個未被匹配的點出發，按着顏色交替搜下去，他們不同的是，匹配的交錯軌最終要在另一個部里找到一個未匹配的點，這里的“交錯軌”，沒有辦法找到未被匹配的點，我們就一直搜下去，知道搜不動，既搜到以前又搜過的。把搜這條“交錯軌”所經過的點我們都做上標記。最后，覆蓋點就是X部被標記了的點和Y部沒有標記的點。
如圖所示：
從Y部的未被匹配的點出發，順着藍色線所標記的路，經過的點都做上標記，最后，選取X部做了標記的點和Y部沒有做標記的點，既圖中的藍點。
從圖中，直接看出，通過這種方法可以選取最大匹配數量的點覆蓋完了所有的邊。
首先我們要明白按這種方法標記的特點：
1、出發的第一條邊是灰色，結束的邊是黑色；
2、X的被標記的點是從Y到X走灰邊；
3、Y被標記的點是未匹配的點或者從X到Y是黑色的邊的點。
我們看X部，它的點，有3種情況：
1、只有一條黑邊；
2、只有灰邊；
3、黑邊灰邊都有。
情況1只有一條黑邊的點不可能被標記，由標記特點2可知。
情況2只有灰邊的點不可能被標記到。如果被標記，那么這條邊就是結束邊，而“交錯軌”的結束邊是黑色，由特點1知。
情況3黑邊灰邊都有，這樣的X點可能被標記，因為它有進有出。
如果我們把X部標記了的點去掉后，只可能有下面三種情況：
第一種：
這個時候，只剩情況1、2的X部點，他們所連接的Y部點都是沒有被標記的，最后，我們選擇Y部點作為覆蓋點時，整個圖的邊就覆蓋完了。
第二種：
雖然上圖有X點同時連接着灰邊和黑邊，但是，選擇上圖的兩個藍點后，就可以把所有的邊覆蓋完。
第三種：
第一種和第二種的綜合版
這個，純屬搞笑，O(∩_∩)O~。
好了，這樣我們證明了通過這種方法選擇的點一定可以覆蓋完所有邊。
下面，還需要證明，這樣的覆蓋點等於最大匹配數。
對於每條匹配邊而言，它都有X部和Y部的匹配點。我們通過標記后，對於走過的匹配邊而言，我們選擇的是X部的點，對於走過的匹配邊而言，我們選擇的是Y部的點，所以加起來就是匹配數。
那么，這就一定是最小覆蓋點數嗎？
答案是顯而易見的，因為，每條匹配邊之間都是獨立的，沒有重合的X部點或者Y部點，所以，只對於匹配邊而言，每條匹配邊都需要一個覆蓋點，才能覆蓋這條邊。
所以，最小覆蓋點數等於最大匹配數。