[LintCode] Median（期望時間復雜度O(n)求中位數和第k大數）

class Solution {
public:
    /**
     * @param nums: A list of integers.
     * @return: An integer denotes the middle number of the array.
     */
    void swap(vector<int> &v, int i, int j)
    {
        int tmp = v[i];
        v[i] = v[j];
        v[j] = tmp;
    }
    int getMinK(vector<int> &v, int left, int right, int k)
    {
        if(left<right)
        {
            int i = left-1, j = left;
            for(; j<right;  ++j)
            {
                if(v[j]<v[right])
                {
                    ++i;
                    swap(v, i, j);
                }
            }
            swap(v, i+1, right);
            if(k==i+1)  return v[i+1];
            else if(k<=i)   return getMinK(v, left, i, k);
            else return getMinK(v, i+2, right, k);
        }
        else    return v[left];
    }
    int median(vector<int> &v) {
        // write your code here
        return getMinK(v, 0, v.size()-1, (v.size()-1)/2);
    }
};

主要利用快排遞歸划分的思想，可以在期望復雜度為O(n)的條件下求第k大數。快排的期望復雜度為O(nlogn)，因為快排會遞歸處理划分的兩邊，而求第k大數則只需要處理划分的一邊，其期望復雜度將是O(n)。詳細的證明見《算法導論》。

我們可以這樣粗略的思考：

假設我們的數據足夠的隨機，每次划分都在數據序列的中間位置，那么第一次划分我們需要遍歷約n個數，第二次需要遍歷約n/2個數，...，這樣遞歸下去，最后：n+n/2+n/(2^2)+n/(2^3)+...+n/(2^k)+... = (1+1/2+1/(2^2)+1/(2^3)+...+1/(2^k)+...)*n, 當k趨於無窮大的時候，上式的極限為2n。