【算法】弗洛伊德（Floyd）算法

這個算法主要要弄懂三個循環的順序關系。

弗洛伊德（Floyd）算法過程：
１、用D[v][w]記錄每一對頂點的最短距離。
２、依次掃描每一個點，並以其為基點再遍歷所有每一對頂點D[][]的值，看看是否可用過該基點讓這對頂點間的距離更小。

算法理解：

最短距離有三種情況：
１、兩點的直達距離最短。（如下圖<v,x>）
２、兩點間只通過一個中間點而距離最短。（圖<v,u>）
３、兩點間用通過兩各以上的頂點而距離最短。（圖<v,w>）
對於第一種情況：在初始化的時候就已經找出來了且以后也不會更改到。
對於第二種情況：弗洛伊德算法的基本操作就是對於每一對頂點，遍歷所有其它頂點，看看可否通過這一個頂點讓這對頂點距離更短，也就是遍歷了圖中所有的三角形（算法中對同一個三角形掃描了九次，原則上只用掃描三次即可，但要加入判斷，效率更低）。
對於第三種情況：如下圖的五邊形，可先找一點（比如x，使<v,u>=2），就變成了四邊形問題，再找一點（比如y,使<u,w& gt;=2），可變成三角形問題了（v,u,w），也就變成第二種情況了，由此對於n邊形也可以一步步轉化成四邊形三角形問題。（這里面不用擔心哪個點要先找哪個點要后找，因為找了任一個點都可以使其變成（n－1）邊形的問題）。

結合代碼 並參照上圖所示 我們來模擬執行下 這樣才能加深理解：
第一關鍵步驟：當k執行到x，i=v,j=u時，計算出v到u的最短路徑要通過x，此時v、u聯通了。
第二關鍵步驟：當k執行到u，i=v，j=y，此時計算出v到y的最短路徑的最短路徑為v到u，再到y(此時v到u的最短路徑上一步我們已經計算過來，直接利用上步結果)。
第三關鍵步驟：當k執行到y時，i=v，j=w，此時計算出最短路徑為v到y(此時v到y的最短路徑長在第二步我們已經計算出來了)，再從y到w。

依次掃描每一點(k)，並以該點作為中介點，計算出通過k點的其他任意兩點(i,j)的最短距離，這就是floyd算法的精髓！同時也解釋了為什么k點這個中介點要放在最外層循環的原因.

對於這個算法,網上有一個證明的版本：

floyd算法是一個經典的動態規划算法。用通俗的語言來描述的話，首先我們的目標是尋找從點i到點j的最短路徑。從動態規划的角度看問題，我們需要為這個目標重新做一個詮釋（這個詮釋正是動態規划最富創造力的精華所在），floyd算法加入了這個概念  A^k(i,j)：表示從i到j中途不經過索引比k大的點的最短路徑。

    這個限制的重要之處在於，它將最短路徑的概念做了限制，使得該限制有機會滿足迭代關系，這個迭代關系就在於研究：假設A^k(i,j)已知，是否可以借此推導出A^k-1(i,j)。

    假設我現在要得到A^k(i,j)，而此時A^k(i,j)已知，那么我可以分兩種情況來看待問題：1. A^k(i,j)沿途經過點k；2. A^k(i,j)不經過點k。如果經過點k，那么很顯然，A^k(i,j) = A^k-1(i,k) + A^k-1(k,j)，為什么是A^k-1呢？因為對(i,k)和(k,j)，由於k本身就是源點（或者說終點），加上我們求的是A^k(i,j)，所以滿足不經過比k大的點的條件限制，且已經不會經過點k，故得出了A^k-1這個值。那么遇到第二種情況，A^k(i,j)不經過點k時，由於沒有經過點k，所以根據概念，可以得出A^k(i,j)=A^k-1(i,j)。現在，我們確信有且只有這兩種情況---不是經過點k，就是不經過點k，沒有第三種情況了，條件很完整，那么是選擇哪一個呢？很簡單，求的是最短路徑，當然是哪個最短，求取哪個，故得出式子：

    A^k(i,j) = min( A^k-1(i,j), A^k-1(i,k) + A^k-1(k,j) )

    現在已經得出了A^k(i,j) = A^k-1(i,k) + A^k-1(k,j) 這個遞歸式，但顯然該遞歸還沒有一個出口，也就是說，必須定義一個初始狀態，事實上，這個初始狀態取決於索引k是從0開始還是從1開始，上面的代碼是C寫的，是以0為開始索引，但一般描述算法似乎習慣用1做開始索引，如果是以1為開始索引，那么初始狀態值應設置為A⁰了，A⁰(i,j)的含義不難理解，即從i到j的邊的距離。也就是說，A⁰(i,j) = cost(i,j) 。由於存在i到j不存在邊的情況，也就是說，在這種情況下，cost(i,j)無限大，故A⁰(i,j) = oo（當i到j無邊時）

    到這里，已經列出了求取A^k(i,j)的整個算法了，但是，最終的目標是求dist(i,j)，即i到j的最短路徑，如何把A^k(i,j)轉換為dist(i,j)？這個其實很簡單，當k=n（n表示索引的個數）的時候，即是說，Aⁿ(i,j)=dist(i,j)。那是因為當k已經最大時，已經不存在索引比k大的點了，那這時候的Aⁿ(i,j)其實就已經是i到j的最短路徑了。

    從floyd算法中不難看出，要設計一個好的動態規划算法，首先需要研究是否能把目標進行重新詮釋（這一步是最關鍵最富創造力的一步），轉化為一個可以被分解的子目標，如果可以轉化，就要想辦法尋找數學等式使目標收斂為子目標，如果這一步可以實現了，還需要研究該遞歸收斂式的出口，即初始狀態是否明確（這一步往往已經簡單了）。