機器學習中梯度下降（Gradient Descent， GD）算法只需要計算損失函數的一階導數，計算代價小，非常適合訓練數據非常大的應用。
梯度下降法的物理意義很好理解，就是沿着當前點的梯度方向進行線搜索，找到下一個迭代點。但是，為什么有會派生出 batch、mini-batch、online這些GD算法呢？
原來，batch、mini-batch、SGD、online的區別在於訓練數據的選擇上：
| batch | mini-batch | Stochastic | Online | |
| 訓練集 | 固定 | 固定 | 固定 | 實時更新 |
| 單次迭代樣本數 | 整個訓練集 | 訓練集的子集 | 單個樣本 | 根據具體算法定 |
| 算法復雜度 | 高 | 一般 | 低 | 低 |
| 時效性 | 低 | 一般（delta 模型） | 一般（delta 模型） | 高 |
| 收斂性 | 穩定 | 較穩定 | 不穩定 | 不穩定 |
1. batch GD
每次迭代的梯度方向計算由所有訓練樣本共同投票決定，
batch GD的損失函數是：
\[J(\theta ) = \frac{1}{{2m}}\sum\limits_{i = 1}^m {{{({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})}^2}} \]
訓練算法為：
\[\begin{array}{l}
repeate\{ \\
\theta : = \theta - \alpha \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m ( {h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})x_j^{(i)}\\
\}
\end{array}\]
什么意思呢，batch GD算法是計算損失函數在整個訓練集上的梯度方向，沿着該方向搜尋下一個迭代點。”batch“的含義是訓練集中所有樣本參與每一輪迭代。
2. mini-batch GD
batch GD每一輪迭代需要所有樣本參與，對於大規模的機器學習應用，經常有billion級別的訓練集，計算復雜度非常高。因此，有學者就提出，反正訓練集只是數據分布的一個采樣集合，我們能不能在每次迭代只利用部分訓練集樣本呢？這就是mini-batch算法。
假設訓練集有m個樣本，每個mini-batch（訓練集的一個子集）有b個樣本，那么，整個訓練集可以分成m/b個mini-batch。我們用\(\omega \)表示一個mini-batch, 用\({\Omega _j}\)表示第j輪迭代中所有mini-batch集合，有：
\[\Omega = \{ {\omega _k}:k = 1,2...m/b\} \]
那么， mini-batch GD算法流程如下：
\[\begin{array}{l}
repeate\{ \\
{\rm{ }}repeate\{ \\
{\rm{ for each }}{\omega _k}{\rm{ in }}\Omega :\\
{\rm{ }}\theta : = \theta - \alpha \frac{1}{b}\sum\limits_{i = 1}^b ( {h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}}){x^{(i)}}\\
{\rm{ }}\} for(k = 1,2...m/b)\\
\}
\end{array}\]
3. Stochastic GD （SGD）
隨機梯度下降算法（SGD）是mini-batch GD的一個特殊應用。SGD等價於b=1的mini-batch GD。即，每個mini-batch中只有一個訓練樣本。
4. Online GD
隨着互聯網行業的蓬勃發展，數據變得越來越“廉價”。很多應用有實時的，不間斷的訓練數據產生。在線學習（Online Learning）算法就是充分利用實時數據的一個訓練算法。
Online GD於mini-batch GD/SGD的區別在於，所有訓練數據只用一次，然后丟棄。這樣做的好處是可以最終模型的變化趨勢。比如搜索廣告的點擊率(CTR)預估模型，網民的點擊行為會隨着時間改變。用batch算法（每天更新一次）一方面耗時較長（需要對所有歷史數據重新訓練）；另一方面，無法及時反饋用戶的點擊行為遷移。而Online Leaning的算法可以實時的最終網民的點擊行為遷移。
Ref：
1. http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_descent