（筆試題）將數組分成兩組，使兩組的和的差的絕對值最小

題目：

數組中的數分為兩組，給出一個算法，使得兩個組的和的差的絕對值最小數組中的數的取值范圍是0<x<100，元素個數也是大於0，小於100
比如a[]={2,4,5,6,7},得出的兩組數{2，4,，6}和{5，7}，abs(sum(a1)-sum(a2))=0; 
比如{2，5，6，10}，abs(sum(2,10)-sum(5,6))=1,所以得出的兩組數分別為{2，10}和{5,，6}。

 

思路：

初看問題，感覺好像是個組合問題，通過暴力窮舉解決問題。

但仔細想想，問題可以轉換成，從數組中找出一組數據，使之盡可能等於數組和的一半。

這樣一來是不是有點類似於0-1背包呢？是的，就是0-1背包問題。

條件：數組中的數就是背包問題的weight值，數組中的數也是背包問題的value值，即二者一樣。

問題：背包里裝哪些物品，使得其價值之和最接近總價值的一半。

於是通過背包問題來解決這道題就顯得很簡單了，下面簡單陳述通過動態規划來求解0-1背包問題的思路。

假設V[i][j]表示從i件物品中選出重量為j的物品的最大價值,weight[i],value[i]分別代表第i件物品的重量和價值（在題目中，weight、value屬於同一數組）。

動態轉移方程為:

V[i][j]=V[i-1][j]  if j<weight[i]

V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-weight[i]]+value[i]) if j>weight[i]

另外，如果想知道是由那幾件物品組成的最大價值，可以從后往前回溯，當V[i][j]>V[i-1][j],說明第i件物品被加入（路徑不唯一）。

代碼：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int knapSack(int num,int C,const vector<int> weight,const vector<int> value,vector<int> &x);

int main()
{
    int w[]={2,4,5,6,7};
    int v[]={2,4,5,6,7};
    int num=sizeof(w)/sizeof(w[0]);
    vector<int> weight(w,w+num);
    vector<int> value(v,v+num);
    int C=12;
    vector<int> x(num);

    int total=knapSack(num,C,weight,value,x);
    cout<<"Total weight is "<<total<<endl;

    return 0;
}

int knapSack(int num,int C,const vector<int> weight,const vector<int> value,vector<int> &x){
    vector<vector<int> > V(num+1,vector<int>(C+1));
    for(int i=1;i<=num;i++){
        for(int j=1;j<=C;j++){
            if(j<weight[i-1])
                V[i][j]=V[i-1][j];
            else
                V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]);
        }
    }

    cout<<"Dynamic Matrix: "<<endl;
    for(int i=1;i<=num;i++){
        for(int j=1;j<=C;j++){
            cout<<V[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }

    int j=C;
    for(int i=num;i>0;i--){
        if(V[i][j]>V[i-1][j]){
            x[i]=1;
            j=j-weight[i-1];
        }
        else
            x[i]=0;
    }

    cout<<"The articles chosen is: "<<endl;
    for(int i=0;i<num;i++){
        if(x[i])
            cout<<i+1<<" ";
    }
    cout<<endl;

    return V[num][C];
}

運行結果：