函數依賴集的閉包
F：FD的集合稱為函數依賴集。
F閉包：由F中的所有FD可以推導出所有FD的集合，記為F+。
例1，對於關系模式R(ABC)，F＝{A→B,B→C}，求F+。
根據FD的定義，可推出F+={φ→φ,A→φ,A→A,A→B,A→C,A→AB,A→BC,A→ABC,…}，共有43個FD。其中，φ表示空屬性集。
屬性集閉包
屬性集閉包定義 ：
對F，F+中所有X→A的A的集合稱為X的閉包，記為X+。可以理解為X+表示所有X可以決定的屬性。
屬性集閉包的算法：
A+：將A置入A+。對每一FD，若左部屬於A+，則將右部置入A+，一直重復至A+不能擴大。
超鍵、候選鍵
若X+包含R的所有屬性，則X是超鍵。當X不可約時則為候選鍵。 如上例：A+＝ABC，則A為超鍵，因為A不可約則為候選鍵。
設關系模式R中U=ABC.......等N個屬性，U中的屬性在FD中有四種范圍：
例2，對於關系模式R(ABCD)，F＝{A→B,B→C,D→B}，求其候選鍵。
先按照屬性集閉包的算法，求各個閉包,然后求得候選鍵。
(1) 求A+。
① A+＝A。
② 由A→B，而A €A+可知，則A+＝AB。
③ 由B→C，而B A+可知，則A+＝ABC。
④ A+封閉，即A+＝ABC。
(2) 求B+、C+、D+。
按步驟(1)可得：B+＝BC，C+＝C，D+＝BCD。
(3) 求其候選鍵。 顯然，R的候選鍵為AD。
例3，對於關系模式R(ABC)，F={A→BC,BC→A}，求其候選鍵。
(1) 求屬性的閉包。
按例2可得：A+＝ABC，B+＝B，C+＝C。
(2) 求屬性集的閉包。
由BC→A，則(BC)+＝ABC，其余屬性集閉包為屬性閉包的並集。
(3) 求其候選鍵。 顯然，R的候選鍵為A和BC。
最小函數依賴集
定義：如果函數依賴集F滿足以下條件，則稱F為一個極小函數依賴集。也稱為最小依賴集或最小覆蓋。
(1)F中任一函數依賴的右部僅含有一個屬性。
(2)F中不存在這樣的函數依賴X→A，使得F與F-{X→A}等價。
(3)F中不存在這樣的函數依賴X→A，X有真子集Z使得F-{X→A}U{Z→A}與F等價。
最小依賴集通用算法：
① 用分解的法則，使F中的任何一個函數依賴的右部僅含有一個屬性；
② 去掉多余的函數依賴：從第一個函數依賴X→Y開始將其從F中去掉，然后在剩下的函數依賴中求X的閉包X+，看X+是否包含Y，若是，則去掉X→Y；否則不能去掉，依次做下去。直到找不到冗余的函數依賴；
③ 去掉各依賴左部多余的屬性。一個一個地檢查函數依賴左部非單個屬性的依賴。例如XY→A，若要判Y為多余的，則以X→A代替XY→A是否等價？若A屬於(X)+，則Y是多余屬性，可以去掉。
例4、求F={A→B,B→A,B→C,A→C,C→A},最小（極小）函數依賴集合
1、利用分解規則，將所有的函數依賴變成右邊都是單個屬性的函數依賴。從題目來看，F中的任何一個函數依賴的右部僅含有一個屬性：
{A→B,B→A,B→C,A→C,C→A}
2、去掉F中多余的函數依賴
（1）設A→B冗余，從F中去掉A→B,則F1={B→A,B→C,A→C,C→A}。計算(A)F1+：設X(0)=A,計算X(1)：掃描F1中各個函數依賴，找到左部為A或A子集的函數依賴，A→C。故有X(1)=X(0)U C=AC;掃描F1中各個函數依賴，找到左部為AC或為AC子集的函數依賴，C→A,X(2)=X(1)U C=AC.但AC不包含B，故A->B不能從Ｆ中去掉。
（2）設B→A冗余，從F中去掉B→A，則F2={A→B,B→C,A→C,C→A}。計算(B)F2+:設X(0)=B，計算X(1)：掃描F2中各個函數依賴，找到左部為B或者B子集的函數依賴，B→C.故有X(1)=X(0)U C =BC;掃描F2中各個函數依賴，找到左部為BC或為BC子集的函數依賴，C->A,X(2)=X(1)U A=ABC.X(2)包含所有屬性，故B→A可從Ｆ中去掉。
（3）設B→C冗余，從F中去掉B→C，則F3={A→B,A→C,C→A}。計算(B)F3+：掃描F3中各個函數依賴，找不到左部為B或B子集的函數依賴,因為找不到這樣的函數依賴，故有X(1)=X(0)=B，(B)F1+= B不包含C，故B→C不是冗余的函數依賴，不能從F1中去掉。
（4）設A→C冗余，從F中去掉A→C，則F4={A→B,B→C，C→A}。計算(A)F4+：設X(0)=A,計算X(1)：掃描F4中各個函數依賴，找到左部為A或A子集的函數依賴，A→B。故有X(1)=X(0)U B=AB;掃描F4中各個函數依賴，找到左部為AB或為AB子集的函數依賴，B→C,X(2)=X(1)U C=ABC.X(2)包含所有屬性，故A→C可從Ｆ中去掉。
（5）設C→A冗余，從F中去掉C→A，則F4={A→B,B→C}。計算(C)F5+：設X(0)=C,計算X(1)：掃描F5中各個函數依賴，找到左部為C或C子集的函數依賴，找不到左部為C或C子集的函數依賴,因為找不到這樣的函數依賴，故有X(1)=X(0)=C，(B)F1+= C不包含A，故C→A不是冗余的函數依賴，不能從F中去掉。
（6）至此，所有依賴均以驗算完畢，故F最小（極小）函數依賴集合為：{A→B,B→C，C→A}