圖（網）的存儲結構（數組存儲表示即鄰接矩陣、鄰接表）

本文轉載自查看原文 2015-04-07 21:59 6849 （C-0）數據結構算法學習筆記

圖（Graph）是一種非線性結構

圖的特點（多對多），頂點之間的關系是任意的，圖中任意兩個頂點之間都可能相關，頂點的前驅和后繼個數無限制。

圖：數據元素間存在多對多關系的數據結構，加上一組基本操作構成的抽象數據類型。

圖的基本術語

頂點：圖中的數據元素。

弧：若 <v, w>∈VR，則 <v, w> 表示從 v 到 w 的一條弧，且稱 v 為弧尾，稱 w 為弧頭，此時的圖稱為有向圖。

G1 = (V1, A1) V1 = {v1, v2, v3, v4}

A1 = {< v1, v2>, < v1, v3>, < v3, v4>, < v4, v1>}

邊：若 <v, w>∈VR 必有<w, v>∈VR，則以無序對 (v, w) 代表這兩個有序對，表示 v 和 w 之間的一條邊，此時的圖稱為無向圖。

G2 = (V2, E2) V2 = {v1, v2, v3, v4, v5}

E2 = {(v1, v2), (v1, v4), (v2, v3), (v2, v5) , (v3, v4), (v3, v5)}

無向圖中邊的取值范圍：0≤e≤n(n-1)/2。（用 n 表示圖中頂點數目，用 e 表示邊的數目。且不考慮頂點到其自身的邊。）

完全圖：有 n(n-1)/2 條邊的無向圖（即：每兩個頂點之間都存在着一條邊)稱為完全圖。

有向圖中弧的取值范圍：0≤e≤n(n-1)。（用 n 表示圖中頂點數目，用 e 表示弧的數目。且不考慮頂點到其自身的弧。）

有向完全圖：有 n (n - 1) 條弧的有向圖（即：每兩個頂點之間都存在着方向相反的兩條弧）稱為有向完全圖。

稀疏圖：含有很少條邊或弧的圖。

稠密圖：含有很多條邊或弧的接近完全圖的圖。

權：與圖的邊或弧相關的數，這些數可以表示從一個頂點到另一個頂點的距離或耗費。

網：帶權的圖。

子圖：如果圖 G = (V, E) 和 G´= (V ´, E´)，滿足：V ´包含於V 且 E´包含於 E，則稱 G´為G 的子圖。

鄰接點：若 (v, v´) 是一條邊，則稱頂點 v 和 v´互為鄰接點，或稱 v 和 v´相鄰接；稱邊 (v, v´) 依附於頂點 v和 v´，或稱 (v, v´) 與頂點 v 和 v´ 相關聯。若 <v, v´> 是一條弧，則稱頂點 v 鄰接到 v´，頂點v´鄰接自頂點 v。並稱弧 <v, v´> 與頂點 v 和 v´ 相關聯。

度：無向圖中頂點 v 的度是和 v相關聯的邊的數目，記為：TD(v)。

入度：有向圖中以頂點 v 為頭的弧的數目稱為 v 的入度，記為：ID(v)。

出度：有向圖中以頂點 v 為尾的弧的數目稱為 v 的出度，記為：OD(v)。

度：入度和出度之和，即：TD(v) = ID(v) + OD(v)。

如果頂點 vi 的度為 TD(vi)，則一個有 n 個頂點 e 條邊（弧）的圖，滿足如下關系：

路徑：從頂點 v 到 v´ 的路徑是一個頂點序列。對於有向圖，路徑也是有向的。

路徑長度：路徑上邊或弧的數目。

回路（環）：第一個頂點和最后一個頂點相同的路徑。

簡單路徑：序列中頂點不重復出現的路徑。

連通：從頂點 v 到 v´ 有路徑，則說 v 和 v´ 是連通的。

連通圖：圖中任意兩個頂點都是連通的。

連通分量：無向圖的極大連通子圖（該子圖是連通子圖，G中再加一個頂點就不連通，再減一條邊就不極大）；任何連通圖的連通分量只有一個，即其本身；非連通圖有多個連通分量（非連通圖的每一個連通部分）。

強連通圖：任意兩個頂點都連通的有向圖。

強連通分量：有向圖的極大強連通子圖（該子圖是強連通子圖，圖中再加一個頂點就不連通，再減一條邊就不極大）；任何強連通圖的強連通分量只有一個，即其本身；非強連通圖有多個強連通分量。

連通圖的生成樹：包含無向圖G 所有頂點的的極小連通子圖（該子圖是G 的連通子圖，在該子圖中刪除任何一條邊，子圖不再連通；加入一條邊，則子圖一定有環。）一個圖可以有許多棵不同的生成樹。

所有生成樹具有以下共同特點：

1、生成樹的頂點個數與圖的頂點個數相同；

2、生成樹是圖的極小連通子圖；

3、一個有 n 個頂點的連通圖的生成樹有 n-1 條邊；

4、生成樹中任意兩個頂點間的路徑是唯一的；

5、在生成樹中再加一條邊必然形成回路。

6、含 n 個頂點 n-1 條邊的圖不一定是生成樹。

（無向圖）生成森林：由若干棵生成樹組成，含有圖中全部頂點，但只有足以構成若干棵不相交的生成樹的邊。

有向樹：如果一個有向圖恰有一個頂點的入度為 0 ，其余頂點的入度均為 1 ，則是一棵有向樹。

有向圖的生成森林：由若干棵有向樹組成，含有圖中全部頂點，但只有足以構成若干棵不相交的有向樹的弧。

圖的存儲結構

圖的存儲結構要保存兩類信息：

1)頂點的數據

2)頂點間的關系

順序存儲：任意兩頂點都可能有聯系，不能用元素在存儲區中的物理位置來表示元素之間的關系。

多重鏈表：與樹類似，浪費存儲單元；操作不方便。

數組表示法（鄰接矩陣表示法）

一個有 n 個頂點的圖，可用兩個數組存儲。其中一個一維數組存儲數據元素（頂點）的信息，另一個二維數組（鄰接矩陣）存儲數據元素之間的關系（邊或弧）的信息。

鄰接矩陣：設 G = (V, VR) 是具有 n 個頂點的圖，頂點的順序依次為 {v1, v2, …, vn}，則 G 的鄰接矩陣是具有如下性質的 n 階方陣：

比如：

使用鄰接矩陣存儲

再比如

使用鄰接矩陣

特點：

1、無向圖的鄰接矩陣對稱，可壓縮存儲；有 n 個頂點的無向圖所需存儲空間為 n(n-1)/2。

2、有 n 個頂點的有向圖所需存儲空間為n²，用於稀疏圖時空間浪費嚴重。占用存儲空間只與它的頂點數有關，與邊數無關；適用於邊稠密的圖；

3、無向圖中頂點 vi 的度 TD(vi) 是鄰接矩陣中第 i 行 1 的個數。

4、有向圖中：頂點 vi 的出度是鄰接矩陣中第 i 行 1 的個數。頂點 vi 的入度是鄰接矩陣中第 i 列 1 的個數。

網的鄰接矩陣可定義為：

使用鄰接矩陣表示

代碼如下：

//圖的數組存儲表示
#define INFINTY INT_MAX//最大值
#define MAX_VERTEX_NUM 20;//最大的頂點個數
typedef enum{
    //有向圖
    destinationGraphic,
    //有向網
    destinationNet,
    //無向圖
    unDestinationGraphic,
    //無向網
    unDestinationNet
} GraphKind;

typedef struct AreCell{
    //頂點的關系類型，對於無權圖，用1或者0來表示相鄰否，帶權圖（網）用權值或者無窮大表示相鄰否
    int adj;
    //弧（邊）相關信息的指針
    int *info;
} AreCell, AdjMartix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];

typedef struct{
    //頂點向量
    int vexs[MAX_VERTEX_NUM];
    //鄰接矩陣
    AdjMartix arcs;
    //圖的當前頂點數和弧邊數
    int vexnum, arcnum;
    //圖的種類標志
    GraphKind kind;
} MGraph;