1 Dijkstra描述與分析
1.1 算法描述
Dijkstra最短路徑算法，具體地說，應該是一種單點到多點(one to many)的最短路徑搜索算法，因為它從起點開始搜索時，總是優先搜索和展開當前離起點路徑最短的節點，直至搜索到目標點時結束搜索。
有人說，Dijkstra算法是一種貪心的算法，因為每次搜到當前節點時，總是任性地判定“當前看來的局部最優解(在當前已搜索空間上的最短路徑path(s,....,t))是全局最優解(全圖空間上的最短路徑path(s,.....t))”。
我們知道，圖的遍歷分為深度優先搜索和廣度優先搜索兩種。其實假設任意相鄰兩個節點之間的阻抗均為單位1時(方便理解)，Dijkstra最短路徑算法則演變成了寬度優先搜索算法：從起始點向四周層層展開，最終遇到終點t時終止搜索。
1.2 算法證明
無論從貪心算法還是寬度優先遍歷算法的角度理解它，Dijkstra算法算是一種盲目的搜索算法，所以我們還是會懷疑它搜索結果的正確性。有些事情如果很難證明它是正確的，那么我們試圖揭穿它是錯誤的--反證法。
Dijkstra搜索過程：從當前起始點s開始搜索，搜着搜着...，終於在當前搜索擴展空間上遇到目標點t時，結束搜索，求出最短路徑為path(s,...,d)。那么如果繼續擴大范圍進行搜索時，有沒可能找到更短的由s至目標點t的路徑呢？假設繼續擴大范圍搜索，經過了節點u然后遇到了目標點t，存在着候選路徑path(s,....u..,t)<path(s,...,d)。path(s,....u..,t) = path(s,..,u)+path(u,..,t)。又已知搜索規則是"優先搜索和展開當前離起點路徑最短的節點"，所以path(s,..,u)>path(s,...,d)，很明顯得出path(u,..,t)小於0的結論，而前提條件是任意兩節點間沒有負權值的，所以假設不成立。這也是為什么Dijkstra算法得在沒有負權值的條件下work的原因。
自Dijkstra算法創造出來至今的50多年時間里，雖然相繼出現了些加速優化的算法，但均是以dijkstra算法為基礎的，可以說dijkstra是網絡最優路徑算法的開山之作，當然Dijkstra其人的偉大之作不在此多表。
2 Dijkstra搜索空間存在的問題
假設每個節點表示一個城市，起始點S為武漢，目標點T為北京的搜索節點展開過程如下：
其中節點的標號表示從起始點節點開始搜索依次展開的序號。按Dijkstra“離起始點路徑最短的當前點為優先搜索展開准則”，先搜索到附近的岳陽、合肥、南昌、南京等城市，然后搜索到了長沙、鄭州等城市，最后一定是在搜索到目的地北京之前，先搜索到了廣州節點，由於武漢-廣州較武漢-北京稍短些。心理認知上告訴我們，岳陽、長沙等方向明顯是會和目標點方向相悖的搜索節點，所以在這個搜索過程中，算法遍歷了很多“冤枉徒勞”的路。
正所謂“方向錯了，再努力也沒用”。那么有什么策略可以減少這種“南轅北轍”的現象呢，或者說直覺上優先加速搜索方向更靠譜的節點？
3 A*算法
自1959年，前圖靈獎獲得者發明Dijkstra算法后。終於在近10年后的1968年，由斯坦福研究所的Nilsson擴展了其算法，提出了著名的A*算法。而A*算法正是以“優先搜索直覺上方向靠譜的節點”為策略來減少搜索空間達到加速搜索目標點的目的，其搜索空間如下：
Dijkstra算法是以起始點為中心，離起始點路徑最短的當前點為優先准則，層層向外進行展開的搜索策略。 而A*算法在Dijkstra基礎上進行了擴展，同樣以起始點為中心，但是以離起始點和目標點路徑的近似之和為最短的當前點(估價函數之一)為優先准則，層層向外進行展開的搜索策略。
從圖搜索算法的角度上思考：Dijkstra算法更近似寬度優先搜索算法，而A*算法更近似深度優先搜索算法。回憶初中課本關於圓與橢圓的定義，不難近似描述出Dijkstra算法與A*算法的搜索空間如下：
搜索耗時是與搜索的空間范圍成正比的，所以兩者算法的耗時對比：也即是兩焦點為R的橢圓與半徑為R的面積近似比。
參考