計算幾何算法基礎————判斷點是否在線段上（另附叉積的重要應用，折線段的拐向判斷）

參考資料：《ACM/ICPC程序設計與分析》

判斷點在線段上這個算法非常的簡單，只要學過叉乘（CrossProduct）就很容易搞定

設點為Q，線段為P1P2，判斷點Q是否在P1P2上。

算法依據：

1.點Q首先要在P1P2所在的直線上。

  比較原始的辦法是利用P1P2的坐標做出直線方程，然后代入點Q看是否滿足方程，這樣代碼稍微麻煩些。

  簡單點就是用叉乘，如果點Q在P1P2直線上，那么：

  P1Q x P1P2 = 0（x代表叉乘）

 這個代碼實現很容易。

 P x Q = P.x * Q.y - P.y * Q.x（交叉相乘)PS:叉積的結果還是一個向量，二維向量的叉積是垂直於兩個向量形成的平面的一個向量。這行公式實際上求的是標量。

2.Q要在以P1P2為對角線的平行矩形內

   這個就更簡單了,做一下比較即可

下面給出偽代碼：

<span style="font-family:Microsoft YaHei;font-size:14px;">bool  On_Segment(Point P1,Point P2,Point Q)
{
	int condition1 = condition2 = 0
	if(CrossProduct(P1Q,P1P1) == 0)//條件1 
		condition1 = 1;
	if((min(P1.x,P2.x) <= Q.x) && (Q.x <= max(P1.x,P2.x)) &&
	   (min(P1.y,P2.y) <= Q.y) && (Q.y <= max(P1.y,P2.y)))//條件2 
	   condition2 = 1;
	if(condition1 && condition2)
		return true;
	else
		return false;   
}</span>

這里在說一下矢量叉乘的一個重要應用！

如果給出三點ABC，其位置關系如下：

給出求AB x AC叉乘的偽代碼

<span style="font-family:Microsoft YaHei;font-size:14px;">double CrossProduct(Point A,Point B,Point C)
{
	return (B.x - A.x) * (C.y - A.y) - (C.x - A.x) * (B.y - A.y);
}
</span>

有了這些基礎，就可以對折線段的拐向進行判斷

對於有公共端點的線段AB,BC，通過計算AB x AC可以確定AB的拐向

圖示情況為AB x AC > 0 即AB在B點向左側拐向C 

圖示情況為AB x AC < 0 即AB在B點拐向右側后到C

不要忘了AB x AC == 0 的情況，此時ABC共線。