樹狀數組————BIT（Binary Index Tree），又稱二分索引樹。不得不承認，二分索引樹的名字更能反應它的本質，而樹狀數組這個名字則更加的直觀。
與其說是一種算法，不如說是一種數據結構。從名字可以直觀的看出，這是一種像是樹一樣的數組。這就具有很多優點，能夠在log(n)的時間內進行查詢、求和等操作。
下面看這張圖（提到樹狀數組必須離不開這個圖）
其中以A表示原數組，C表述樹狀數組。
下面給出一個構造的原則（或者說樹狀數組的每一個結點的含義吧):C[i] = A[i-2^k+1] + .........+A[i]
其中這個k的含義是什么呢？
即表示將i轉化為2進制后，從右往左數，0的個數。（大家大可不必問為什么，這個證明應該是數學問題了，找了一下沒有發現相關資料於是我就作罷了...)
比如說，i = 8
8的二進制表示為00001000，從右往左數到第一個1為止共有三個0，則k = 3
那么C[i]表示的是從A[8 - 2 ^ 3 + 1] 到 A[8]也即A[1......8]的值
下面給出求一個函數LowBit(int index)用來求2^k
相信這個地方還是很難理解，我舉幾個例子看看。
例如，index = 6 經過LowBit運算后得出結果為2那么C[6] = A[5] + A[6]
（k == 2 剛好是表示A[i-1 + 1] + A[i - 1 + 1]這兩個數的和，和前邊的構造原則是一致的)
有一個簡單的記憶方式，6的因子有1,2,3,6，這四個因子中有一個2是2的n次方，所以這個2就是我們想要求的那個k
在打一個比方，8的因子有1,2,4,8，其中有三個數可以表示成2的n次方（2,4,8），但那個最大的8是我們想要的k.
又如7，其因子1,7沒有一個數可以表示成2的n次方，得出的結果k = 1，那么，可以得出一致結論，當index為奇數時，C[i] = A[i]
（以上紅字部分可以加深對LowBit的理解）
<span style="font-family:Microsoft YaHei;font-size:14px;">int LowBit(int index)
{
return index & (-index);
}</span>
（至於為什么這么算，可以看BYvoid的鏈接https://www.byvoid.com/blog/binary-index-tree）
要時刻明白，LowBit這個函數，求得的是index的所有因子中滿足以下條件的那個數值：
1.最大的因子
2.該因子可以表示成2的整數次冪。
巧合的是，這個LowBIt求得的值，就是當前結點的管轄范圍。
什么意思呢？
大家看上圖：同樣以index = 8 為例。index = 8的這個葉節點的管轄范圍是原數組中的1----8，這8個結點都可以看做是index結點的子結點
實際上，我們有這樣的重要定理:
index += LowBit（index）得到的值，正是子節點index的父節點。
如：index = 4時 index += LowBit(index) = 8，也就是管轄4這個結點的父節點。
相應的index -= LowBit（index）可以得到index管轄的子節點。
下面看一個例子：
敵兵布陣
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 45999 Accepted Submission(s): 19553
中央情報局要研究敵人究竟演習什么戰術,所以Tidy要隨時向Derek匯報某一段連續的工兵營地一共有多少人,例如Derek問:“Tidy,馬上匯報第3個營地到第10個營地共有多少人!”Tidy就要馬上開始計算這一段的總人數並匯報。但敵兵營地的人數經常變動，而Derek每次詢問的段都不一樣，所以Tidy不得不每次都一個一個營地的去數，很快就精疲力盡了，Derek對Tidy的計算速度越來越不滿:"你個死肥仔，算得這么慢，我炒你魷魚!”Tidy想：“你自己來算算看，這可真是一項累人的工作!我恨不得你炒我魷魚呢!”無奈之下，Tidy只好打電話向計算機專家Windbreaker求救,Windbreaker說：“死肥仔，叫你平時做多點acm題和看多點算法書，現在嘗到苦果了吧!”Tidy說："我知錯了。。。"但Windbreaker已經掛掉電話了。Tidy很苦惱，這么算他真的會崩潰的，聰明的讀者，你能寫個程序幫他完成這項工作嗎？不過如果你的程序效率不夠高的話，Tidy還是會受到Derek的責罵的.
每組數據第一行一個正整數N（N<=50000）,表示敵人有N個工兵營地，接下來有N個正整數,第i個正整數ai代表第i個工兵營地里開始時有ai個人（1<=ai<=50）。
接下來每行有一條命令，命令有4種形式：
(1) Add i j,i和j為正整數,表示第i個營地增加j個人（j不超過30）
(2)Sub i j ,i和j為正整數,表示第i個營地減少j個人（j不超過30）;
(3)Query i j ,i和j為正整數,i<=j，表示詢問第i到第j個營地的總人數;
(4)End 表示結束，這條命令在每組數據最后出現;
每組數據最多有40000條命令
對於每個Query詢問，輸出一個整數並回車,表示詢問的段中的總人數,這個數保持在int以內。
1 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Query 1 3 Add 3 6 Query 2 7 Sub 10 2 Add 6 3 Query 3 10 End
Case 1: 6 33 59
這里，再給出兩個重要的函數。
1.
____________________________________________________________________________________________________________________________________
<span style="font-family:Microsoft YaHei;font-size:14px;">void Update(int index,int value)
{
while(index <= N){
tree[index] += value;//這里不一定要加，可以給出必要的更改
index += LowBit(index);
}
}</span>
其中N是表示原數組的容量
（這個地方其實有一容易被忽略的地方，就是C語言數組下標一般從0開始。不過LowBit（0） == 0 ，那么在這個函數中 0 += LowBit（0） 會一直得到0的結果始終<=N就會變成死循環！所以在構造原數組的時候一定要注意！）
好了，下面說明一下這個函數的功能。
因為樹狀數組的特殊性——某一個結點的管轄結點可能有很多個，修改子節點的時候，必須上溯到它的父節點，這一條路徑的上的值都要更改，所以有了這個Update函數。
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2.
<span style="font-family:Microsoft YaHei;font-size:14px;">int Sum(int index)
{
int sum = 0;
while(index){
sum += tree[index];
index -= LowBit(index);
}
return sum;
}</span>
函數很簡單，求index結點所對應的子節點和。
（其實就是從1----index的原數組的和）
看懂了圖就看懂了一大半，下面給出題目代碼，有興趣的可以研究一下
HDU 1166
<span style="font-family:Microsoft YaHei;font-size:14px;">/*--------------------------------------------------------------------
12二進制： 00001100
取反： 11110011 負數補碼形式哪負數補碼呢
我先看看負數補碼何表示【負數補碼其原碼逐位取反符號位除外；整數加1】
我返弄：
先11110011-1=11110010
符號位外取反：10001101
看看除符號外數：0001101 13 所數-13
PS:
1 & (-1) == 1
*/
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define maxn 50005
int num[maxn];
int TreeC[maxn],N;//樹狀數組
void Initialize()
{
memset(TreeC,0,sizeof(TreeC));
memset(num,0,sizeof(num));
}
int LowBit(int index)
{
return index & (-index);
}
int Sum(int index)
{
int ans = 0;
while(index > 0){
ans += TreeC[index];
index -= LowBit(index);
}
return ans;
}
void Update(int index,int value)//維護樹狀數組
{
while(index <= N){
TreeC[index] += value;
index += LowBit(index);
}
}
int main()
{
int Casenum,a,b;
char str[10];
scanf("%d",&Casenum);
for(int cases = 1 ; cases <= Casenum ; ++cases){
Initialize();
scanf("%d",&N);
bool over = false;
for(int i = 1 ; i <= N ; ++i){
scanf("%d",&num[i]);
Update(i,num[i]);//讀取一組數構建一次樹狀數組
}
printf("Case %d:\n",cases);
while(scanf("%s",str) != EOF){
switch(str[0]){
case 'Q' : { scanf("%d%d",&a,&b) ; printf("%d\n",Sum(b)-Sum(a-1)) ; } ; break;
case 'A' : { scanf("%d%d",&a,&b) ; Update(a,b) ;} ; break;
case 'S' : { scanf("%d%d",&a,&b) ; Update(a,-b) ;} ; break;
case 'E' : over = true;break;
}
if(over)
break;
}
}
return 0;
}</span>