動態規划專題（一） HDU1087 最長公共子序列

Super Jumping! Jumping! Jumping!

首先對於動態規划問題要找出其子問題，如果找的子問題是前n個序列的最長上升子序列，但這樣的子問題不好，因為它不具備無后效性，因為它的第n+1的數會影響前n個序列的長度，換句話說，如果第n+1個數加上去不一定使得和前n個數加起來就是最長子序列，具體例子很多比如5,6,1,2 第5個數是3，那么最長序列5,6加3不會比1,2加3長。

比較好的子問題是“求以第K個為終點的最長上升子序列”，其實這個子問題的好處在於它限定了一點，終點為第k個數，那么我去遞推第K+1的最長子序列時，它只跟前面各個以某點為終點的最長子序列有關

接下來，我們寫出它的狀態轉移方程

maxLen（k）表示為ak作為終點的最長上升子序列的長度

初始狀態：maxLen（1）=1

maxLen（k）=max{ maxLen（i）:1<=i<k且ai < ak 且k>=2}+1

若找不到則maxLen（k）=1

因為以小於ak為終點的各序列，若滿足上述條件，加上ak，一定會形成更長的上升子序列。

另外從認識的角度講，ak是從終點1到k-1一個個判斷下來的，那么一旦他們兩個是上升的，連帶的會把ai的最長子序列長度帶上去，使之變得更長。

本題僅作了一個小的改動最長上升總和，思路大致相同，代碼如下

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 1005
using namespace std;
int num[MAXN],m[MAXN];//m記錄以每個終點的最長上升總和
int main()
{
    int t,i,j,k;
    while(cin>>t)
    {
        if(t==0)
            break;
        memset(m,0,sizeof(0));
        for(i=1;i<=t;i++)
            scanf("%d",&num[i]);
        m[1]=num[1];
        for(i=2;i<=t;i++)
        {
            m[i]=num[i];
            for(j=1;j<i;j++)
            {
                if(num[j]<num[i])
                    m[i]=max(m[i],m[j]+num[i]);
            }
        }
        k=m[1];
        for(i=1;i<=t;i++)
            k=m[i]>k?m[i]:k;
        cout<<k<<endl;
    }
    return 0;
}