（一）線性方程組求解
包含n個未知數，由n個方程構成的線性方程組為：
其矩陣表示形式為：
其中
一、直接求解法
1、左除法
x=A\b;
如果A是奇異的，或者接近奇異的。MATLAB會發出警告信息的。
2、利用矩陣的分解來求解線性方程組（比單單進行左除速度快）
（1）LU分解(只有方陣可以使用)
LU分解就是分解成一個交換下三角矩陣（也就是說進行一定的操作后才是下三角矩陣）和一個上三角矩陣（不需要變換）的乘積形式。只要A是非奇異的，就可以進行LU分解。
MATLAB提供的LU分解函數對於矩陣進行LU分解：
[L,U]=lu(X); %X必須是方陣
[L,U,P]=lu(X); %PX=LU。X必須是方陣
實現LU分解之后，線性方程組Ax=b的解就為x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)、
（2）QR分解（A是非奇異的）
QR分解就是分解成一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R的乘積形式。只要A是非奇異的，就可以進行QR分解。QR只能對方陣進行分解。
[Q,R]=qr(X); %X=QR
[Q,R,E]=qr(X); %XE=QR
實現QR分解之后，解為x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b))。
（3）Cholesky分解（X是正定的）
如果X是正定的。則將矩陣分解成一個下三角矩陣和上三角矩陣的乘積。上三角矩陣為R，下三角矩陣為其轉置，X=R’R.
MATLAB進行CHolesky分解方法：
R=chol(X); [R,p]=chol(X); %p=0則為正定矩陣，返回一個R，或者p為一個正整數q=p-1，滿足R'R=X(1:q,1:q)
則線性方程組的解為x=R\(R’\b)
二、迭代法求解(求解大型系數矩陣的方程組）
1、Jacobi迭代法
（1）原理解釋
對於Ax=b，如果A為非奇異，那么A就可以分解成一個對角陣D，一個下三角陣L和一個上三角陣U，使得A=D-L-U。則
然后得到迭代公式為
如果收斂的話，就可得到方程的解。
（2）MATLAB編程求解（= =，很簡單的迭代。但是如果沒有解的話，會得到NAN= = ）
function [y,n]=jacobi(A,b,x0,eps) %A為系數矩陣，b為向量，x0為初值。 if nargin==3 %輸入參數至少為3個 eps=1.0e-6; elseif nargin<3 error return end D=diag(diag(A)); %求A得對角矩陣 L=-tril(A,-1); %求A的下三角陣（沒有對主對角線），由於是拆成A=D-L-U，所以前面加了“-”號，下同 U=-triu(A,1); %求A的上三角陣（沒有對主對角線）。 B=D\(L+U); f=D\b; y=B*x0+f; n=1; %迭代次數 while norm(y-x0)>=eps x0=y; y=B*x0+f; n=n+1; end
（3）一個demo
x =
0.9958
0.9579
0.7916
n =
11
2、Gauss-Serdel迭代法
（1）原理說明
由於每一次的x都已經算出來了，就沒比較再從頭算一次了。就是省略了無效的迭代次數，然后我們就得到一個新的迭代公式。
（2）MATLAB編程求解
function [y,n]=gauseidel(A,b,x0,eps) %A為系數矩陣,b為列向量,x0為初值。 if nargin==3 eps=1.0e-6; elseif nargin<3 error return end D=diag(diag(A)); %求A的對角矩陣 L=-tril(A,-1); %求A的下三角陣 U=-triu(A,1); %求A的上三角陣 G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; y=G*x0+f; n=1; while norm(y-x0)>=eps x0=y; y=G*x0+f; n=n+1; end
PS：
使用迭代法，一般只能找到一組解（離初值最近的解）。然后使用迭代法，一定要能收斂才能夠使用。
（三）——常微分方程初值問題的數值解法
一般是比較難解出來解析解，所以一般求得離散解就很不錯了。
一、龍格——庫塔法簡介
1、由中值定理可得：
所以，根據上述遞推式之后能夠計算未知函數y在點
，i=0,1，……，n的一列的數值解。
當然，使用的遞推公式都會有一個誤差累計的問題，所以我們使用龍格——庫塔公式：
2、MATLAB封裝的龍格——庫塔法實現
[t,y]=ode23('fname',tspan,y0); [t,y]=ode45('fname',tspan,y0);
其中，fname是定義f(t,y)的函數文件名，該函數文件必須返回一個列向量。
tspan形式為[t0,tf]，表示求解區間。
y0是初始狀態列向量。
t，y分別給出求解的相應向量。
然后自己會自動采用步長大小，所以效率還是不錯的。
3、demo1
MATLAB編程求解
t0=0;tf=10; y0=2; [t,y]=ode23('funt',[t0,tf],y0); %龍格——庫塔法的離散解 y1=sqrt(t+1)+1; %精確解 plot(t,y,'-b*'); hold on; plot(t,y1,':ro');
紅色是精確解，藍色是離散解，可以得到差距不大。
4、demo2
對於高階的常微分方程。首先要轉換為一階常微分方程組。即狀態方程（上面有兩點表示二次導數= =）
令：
，則原式化為
MATLAB求解
t0=0;tf=20; x0=[0;0.25]; [t,x]=ode23('funt',[t0,tf],x0) subplot(1,2,1);plot(t,x); subplot(1,2,2);plot(x(:,1),x(:,2));
（四）函數極值
1、MATLAB求解方法
x=fmin('fname',x1,x2); %求單變量函數的最小值 x=fmins('fname',x0); %求多變量函數的最小值
