1. 求極限 $$\bex \vlm{n}\dfrac{(n^2+1)(n^2+2)\cdots(n^2+n)}{(n^2-1)(n^2-2)\cdots(n^2-n)}. \eex$$
2. 求 $$\bex \lim_{x\to 0^+}\sez{\frac{1}{x^5}\int_0^x e^{-t^2}\rd t +\frac{1}{3}\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^4}}. \eex$$
3. 設 $$\bex I(r)=\oint_L \dfrac{y}{x^2+y^2}\rd x-\dfrac{x}{x^2+y^2}\rd y, \eex$$ 其中 $L$ 為 $x^2+xy+y^2=r^2$, 取正方向. 求 $\dps{\lim_{r\to \infty}I(r)}$.
4. 求 $$\bex \int_{e^{-2n\pi}}^0 \sin \ln \dfrac{1}{x}\rd x. \eex$$
5. 考察 Riemann 函數的連續性, 可微性及可積性.
6. $f$ 為定義在某區域 $D\subset\bbR^n$ 上的一個函數, 有一階連續偏導數, 且偏導數有界.
(1). 若 $D$ 為凸區域, 證明: $f$ 一致連續.
(2). 考察 $D$ 不是凸區域的情況.
7. 設 $\sed{f_n}$ 是 $\bbR$ 上的函數列, 且對任意 $x\in\bbR$, $\sed{f_n(x)}$ 有界. 證明: 存在一個開區間 $(a,b)$, 使得 $\sed{f_n(x)}$ 在該區間上一致有界.
8.
(1). 證明 $\vGa(s)$ 在 $(0,\infty)$ 內無窮次可微.
(2). 證明 $\vGa(s)$, $\ln \vGa(s)$ 都是嚴格凸函數.
9. 設 $f$ 在 $\bbR$ 上二階可微, $f,f',f''$ 均 $\geq0$, 且存在 $c>0$ 使得 $f''(x)\leq cf(x)$. 證明:
(1). $\dps{\lim_{x\to -\infty}f'(x)=0}$.
(2). 存在常數 $a$, 使得 $f'(x)\leq af(x)$, 並求出 $a$.
10. 證明 Fejer 定理.
11. 設 $f$ 在 $[A,B]$ 上 Riemann 可積, $0<f<1$, 對於任意 $\ve>0$, 構造一個函數 $g$ 使得
(1). $g$ 是一個階梯函數, 取值為 $0$ 或 $1$.
(2). 對於 $\forall\ [a,b]\subset [A,B]$, $$\bex \sev{\int_a^b [f(x)-g(x)]\rd x}<\ve. \eex$$
參考解答見家里蹲大學數學雜志.