迪傑斯特拉算法介紹

迪傑斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路徑算法，用於計算一個節點到其他節點的最短路徑。 
它的主要特點是以起始點為中心向外層層擴展(廣度優先搜索思想)，直到擴展到終點為止。

基本思想

     通過Dijkstra計算圖G中的最短路徑時，需要指定起點s(即從頂點s開始計算)。

     此外，引進兩個集合S和U。S的作用是記錄已求出最短路徑的頂點(以及相應的最短路徑長度)，而U則是記錄還未求出最短路徑的頂點(以及該頂點到起點s的距離)。

     初始時，S中只有起點s；U中是除s之外的頂點，並且U中頂點的路徑是"起點s到該頂點的路徑"。然后，從U中找出路徑最短的頂點，並將其加入到S中；接着，更新U中的頂點和頂點對應的路徑。 然后，再從U中找出路徑最短的頂點，並將其加入到S中；接着，更新U中的頂點和頂點對應的路徑。 ... 重復該操作，直到遍歷完所有頂點。

操作步驟

(1) 初始時，S只包含起點s；U包含除s外的其他頂點，且U中頂點的距離為"起點s到該頂點的距離"[例如，U中頂點v的距離為(s,v)的長度，然后s和v不相鄰，則v的距離為∞]。

(2) 從U中選出"距離最短的頂點k"，並將頂點k加入到S中；同時，從U中移除頂點k。

(3) 更新U中各個頂點到起點s的距離。之所以更新U中頂點的距離，是由於上一步中確定了k是求出最短路徑的頂點，從而可以利用k來更新其它頂點的距離；例如，(s,v)的距離可能大於(s,k)+(k,v)的距離。

(4) 重復步驟(2)和(3)，直到遍歷完所有頂點。

單純的看上面的理論可能比較難以理解，下面通過實例來對該算法進行說明。

迪傑斯特拉算法圖解

以上圖G4為例，來對迪傑斯特拉進行算法演示(以第4個頂點D為起點)。

初始狀態：S是已計算出最短路徑的頂點集合，U是未計算除最短路徑的頂點的集合！ 
第1步：將頂點D加入到S中。 
    此時，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。     注:C(3)表示C到起點D的距離是3。

第2步：將頂點C加入到S中。 
    上一步操作之后，U中頂點C到起點D的距離最短；因此，將C加入到S中，同時更新U中頂點的距離。以頂點F為例，之前F到D的距離為∞；但是將C加入到S之后，F到D的距離為9=(F,C)+(C,D)。 
    此時，S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)}。

第3步：將頂點E加入到S中。 
    上一步操作之后，U中頂點E到起點D的距離最短；因此，將E加入到S中，同時更新U中頂點的距離。還是以頂點F為例，之前F到D的距離為9；但是將E加入到S之后，F到D的距離為6=(F,E)+(E,D)。 
    此時，S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(23),F(6),G(12)}。

第4步：將頂點F加入到S中。 
    此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。

第5步：將頂點G加入到S中。 
    此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。

第6步：將頂點B加入到S中。 
    此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。

第7步：將頂點A加入到S中。 
    此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。

此時，起點D到各個頂點的最短距離就計算出來了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。

迪傑斯特拉算法的代碼說明

以"鄰接矩陣"為例對迪傑斯特拉算法進行說明，對於"鄰接表"實現的圖在后面會給出相應的源碼。

1. 基本定義

// 鄰接矩陣
typedef struct _graph
{
    char vexs[MAX];       // 頂點集合
    int vexnum;           // 頂點數
    int edgnum;           // 邊數
    int matrix[MAX][MAX]; // 鄰接矩陣
}Graph, *PGraph;

// 邊的結構體
typedef struct _EdgeData
{
    char start; // 邊的起點
    char end;   // 邊的終點
    int weight; // 邊的權重
}EData;

Graph是鄰接矩陣對應的結構體。 
vexs用於保存頂點，vexnum是頂點數，edgnum是邊數；matrix則是用於保存矩陣信息的二維數組。例如，matrix[i][j]=1，則表示"頂點i(即vexs[i])"和"頂點j(即vexs[j])"是鄰接點；matrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點。 
EData是鄰接矩陣邊對應的結構體。

2. 迪傑斯特拉算法

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<malloc.h>
#include<string.h>
#define MAX 100
#define INF (~(0x1<<31))
typedef struct Graph
{
    char vexs[MAX];
    int vexnum;
    int edgnum;
    int matrix[MAX][MAX];
} Graph,*PGraph;

typedef struct EdgeData
{
    char start;
    char end;
    int weight;
} EData;

static int get_position(Graph g,char ch)
{
    int i;
    for(i=0; i<g.vexnum; i++)
        if(g.vexs[i]==ch)
            return i;
    return -1;
}

Graph* create_graph()
{
    char vexs[]= {'A','B','C','D','E','F','G'};
    int matrix[][7]=
    {
        {0,12,INF,INF,INF,16,14},
        {12,0,10,INF,INF,7,INF},
        {INF,10,0,3,5,6,INF},
        {INF,INF,3,0,4,INF,INF},
        {INF,INF,5,4,0,INF,8},
        {16,7,6,INF,2,0,9},
        {14,INF,INF,INF,8,9,0}
    };
    int vlen=sizeof(vexs)/sizeof(vexs[0]);
    int i,j;
    Graph *pG;
    if((pG=(Graph*)malloc(sizeof(Graph)))==NULL)
        return NULL;
    memset(pG,0,sizeof(pG));
    pG->vexnum=vlen;
    for(i=0; i<pG->vexnum; i++)
        pG->vexs[i]=vexs[i];
    for(i=0; i<pG->vexnum; i++)
        for(j=0; j<pG->vexnum; j++)
            pG->matrix[i][j]=matrix[i][j];
    for(i=0; i<pG->vexnum; i++)
    {
        for(j=0; j<pG->vexnum; j++)
        {
            if(i!=j&&pG->matrix[i][j]!=INF)
                pG->edgnum++;
        }
    }
    pG->edgnum/=2;
    return pG;
}

void print_graph(Graph G)
{
    int i,j;
    printf("Matrix Graph: \n");
    for(i=0; i<G.vexnum; i++)
    {
        for(j=0; j<G.vexnum; j++)
            printf("%10d ",G.matrix[i][j]);
        printf("\n");
    }
}

EData* get_edges(Graph G)
{
    EData *edges;
    edges=(EData*)malloc(G.edgnum*sizeof(EData));
    int i,j;
    int index=0;
    for(i=0; i<G.vexnum; i++)
    {
        for(j=i+1; j<G.vexnum; j++)
        {
            if(G.matrix[i][j]!=INF)
            {
                edges[index].start=G.vexs[i];
                edges[index].end=G.vexs[j];
                edges[index].weight=G.matrix[i][j];
                index++;
            }
        }
    }
    return edges;
}

void dijkstra(Graph G,int vs,int prev[],int dist[])
{
    int i,j,k;
    int min;
    int tmp;
    int flag[MAX];

    for(i=0;i<G.vexnum;i++)
    {
        flag[i]=0;
        prev[i]=vs;
        dist[i]=G.matrix[vs][i];
    }

    flag[vs]=1;
    dist[vs]=0;

    for(i=1;i<G.vexnum;i++)
    {
        min=INF;
        for(j=0;j<G.vexnum;j++)
        {
            if(flag[j]==0&&dist[j]<min)
            {
                min=dist[j];
                k=j;
            }
        }
        flag[k]=1;
        for(j=0;j<G.vexnum;j++)
        {
            tmp=((G.matrix[k][j]==INF)?INF:(min+G.matrix[k][j]));
            if(flag[j]==0&&tmp<dist[j])
            {
                dist[j]=tmp;
                prev[j]=k;
            }
        }
    }
    printf("dijktra(%c):\n",G.vexs[vs]);
    for(i=0;i<G.vexnum;i++)
        printf(" shortest (%c,%c)=%d\n",G.vexs[vs],G.vexs[i],dist[i]);
}


int main()
{
    Graph *pG;
    pG=create_graph();
    print_graph(*pG);
    int prev[MAX];
    int dist[MAX];
    dijkstra(*pG,3,prev,dist);
    int i;
    for(i=0;i<pG->vexnum;i++)
        printf("%c %c \n",pG->vexs[prev[i]],pG->vexs[i]);
}

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