Haskell學習-常見排序算法

這篇文章嘗試使用 Haskhell 來重寫常見的排序算法。這里不考慮效率，比如時間和空間上的，所以不會刻意去寫成尾遞歸。

插入排序

插入排序是一種簡單易懂的排序。這里分為兩個步驟：

1. 將一個元素插入一個已被排序的數列
2. 對一個未排序的數列不停施以步驟 1

首先步驟 1，要插入數 x，當前序列中第一個數為 y。將 x, y 較小的數放在前面，然后對去除第一個數之后的子序列不停重復上述過程。

insert :: Ord a => a -> [a] -> [a]
insert x [] = [x]
insert x (y:ys) 
        |  x < y = x:y:ys
        | otherwise = y : insert x ys

接下來，只要施以步驟 2 即可，即將亂序的元素一個個地使用 insert 函數到另一個有序列表里就可以了。

insertSort :: Ord a => [a] -> [a]
insertSort [] = []
insertSort (x:xs) = insert x (insertSort xs)

也可以寫成尾遞歸的形式，用一個列表來存儲中間結果：

insertSort :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
insertSort xs [] = xs
insertSort xs (y:ys) = insertSort (insert y xs) ys

冒泡排序

冒泡排序也分為兩個步驟：

1. 比較相鄰元素的大小，然后交換較小的元素，將最大的數通過這個方式交換到最后
2. 重復步驟 1

第一步是交換

swaps :: Ord a => [a] -> [a]
swaps [] = []
swaps [x] = [x]
swaps (x1:x2:xs)
        | x1 > x2 = x2 : swaps(x1:xs)
        | otherwise = x1 : swaps(x2:xs)

然后就是不停 swaps，直到列表不再發生變化

bubbleSort :: Ord a => [a] -> [a]
bubbleSort xs
        | swaps xs == xs = xs       -- 沒發生變化，就停止
        | otherwise = bubbleSort $ swaps xs

可以看到，第二步的效率不高，因為第一輪的 swaps 之后，最后一個數已經是最大的數了，第二步就沒有必要來遍歷到最后一個數。所以，可以將前一步 swaps 之后的序列分為前 n-1 項和最后一項，當前步下，最后一項可以不動，只需 bubbleSort 前 n-1 項。

bubbleSort' :: Ord a=> [a] -> [a]
bubbleSort' [] = []
bubbleSort' xs = bubbleSort' initElem ++ [lastElem]
        where 
            swappedElem = swaps xs
            initElem = init swappedElem
            lastElem = last swappedElem

選擇排序

首先找到最小的元素，將其從序列中取出，放入另一個序列中（初始為空），然后依次類推，直到所有元素從元序列被取出。

1. 尋找序列中最小數，Haskell 有現成的函數 minimum
2. 將最小數從原序列中刪除

這里只要寫一個將序列中指定元素刪除的程序

deleteFromOri :: Eq a => a -> [a] -> [a]
deleteFromOri _ [] = []
deleteFromOri x (y:ys)
        | x == y = ys
        | otherwise = y:deleteFromOri x ys

然后只要將每次 minimum 得到的數從原序列刪除放入新序列

selectSort :: Ord a => [a] -> [a]
selectSort [] = []
selectSort xs = mini : selectSort xs'
        where 
            mini = minimum xs
            xs' = deleteFromOri mini xs

快速排序

快排的定義其實非常簡單，但在 c 語言中卻不好理解，不像 Haskell 這樣寫起來就像在定義一個數學定理一樣。

1. 取出序列中的一個數（簡單的取法，直接取第一個元素），將所有小於該數的數作為一組放於該數左邊，將所有該數的數作為另一組放於該數右邊
2. 對左右兩組數分別施以步驟 1

代碼為

quickSort :: Ord a => [a] -> [a]
quickSort [] = []
quickSort [x:xs] = quickSort mini ++ [x] quickSort maxi
        where
            mini = filter (<x) xs
            maxi = filter (>=x) xs

當然這里效果不高，會運算過程中會產生許多 []。

歸並排序

歸並排序這里仍然是兩個步驟。

1. 將兩個有序數列合為一個有序數列
2. 將原序列不停划分兩部分，直至每部分只有一個元素，然后不停調用步驟 1，將其合並成一個有序數列

步驟 1 的實現，只要將兩個序列 xs 和 ys 的第一個元素作比較即可。步驟 2 采用對半划分。

merge :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
merge xs [] = xs
merge [] ys = ys
merge (x:xs) (y:ys)
        | x > y = y:merge (x:xs) ys
        | otherwise = x:merge xs (y:ys)
        
mergeSort :: Ord a => [a] -> [a]
mergeSort xs = merge (mergeSort x1) (mergeSort x2)
        where
            (x1, x2) = split xs
            split xs = (take mid xs, drop mid xs)
            mid = (length xs) `div` 2