快速排序原理、復雜度分析及C語言實現

   

     本文作者華科小濤：@http://www.cnblogs.com/hust-ghtao/，參考《算法導論》，代碼借用《劍指offer》

    快速排序是一種最壞情況時間復雜度為的排序算法。雖然最壞情況的時間復雜度很差，在在實際應用中是最好的選擇，平均性能很好：期望時間復雜度，而且隱含的常數因子非常小。另外，它還能夠進行原排序，在虛擬環境中也能很好工作。基於隨機抽樣的快速排序算法，在輸入元素互異的情況下，期望運行時間為。

 

1.基本思想

     快速排序利用了分治策略。分治策略可以分為3個步驟：

• 分解：將問題划分為一些子問題，子問題的形式與原問題一樣，只是規模更小。
• 解決：遞歸的求解出子問題。如果子問題的規模足夠小，則停止遞歸，直接求解。
• 合並：將子問題的解組合成原問題的解。

    對一個典型的子數組A[p..r]進行快速排序的分治過程如下：

• 分解：數組A[p..r]被划分為兩個（可能為空）子數組A[p..q-1]和A[q+1..r]，使得A[p..q-1]中的每一個元素都小於等於A[q]，而A[q+1..r]中的每個元素都大於A[q]。其中計算下標q也是划分過程的一部分。
• 解決：通過遞歸調用快速排序，對子數組A[p..q-1]和A[q+1..r]進行排序。
• 合並：因為子數組都是原址排序的，所以不需要合並操作。

 

2.詳細過程

    快速排序的偽代碼如下：

      ，為了排序數組A的全部元素，初始調用QUICKSORT(A, 1, A.length)。

    其中最關鍵的部分就是數組的划分PARTITION，它實現了對子數組A[p..r]的原址重排。偽代碼如下：

      。 

這里的PARTITION程序選擇x=A[r]作為主元，並圍繞着它來划分數組。

隨着程序的增加，數組被划分成4個區域，如下圖所示：

其中：

• A[p..i]上的所有值都小於等於x；
• A[i+1..j-1]區間的所有值都大於x；
• A[j..r-1]是還未掃描的元素，可能屬於任何一種情況;
• A[r]=x。

指針 i 一直指向小值數組的最后一個元素，j指向大值數組末尾的下一個元素。

PARTITION的一次迭代過程中會出現兩種情況：

（a）如果A[j]>x，需要做的只是將j值加1：

 

（b）A[j]<=x，則將i值加1，並交換A[i]和A[j]，在將j值加1，使循環不變量保持不變。

。

在PARTITION的最后，將主元與最左的大於x的元素進行交換，就可以將主元移動到它在數組中的正確位置，並返回主元的新下標。

 

3.性能分析

    快速排序的運行時間依賴於划分是否平衡，而平衡與否又依賴於用於划分的元素。

3.1 最壞情況划分

    當划分產生的兩個子問題分別包含了n-1個元素和0個元素，這是極不平衡的划分。假設算法的每一次遞歸都出現了這種不平衡的划分，算法運行時間的遞歸式可以表示為：

可以解得：。

所以，如果在算法的每一層遞歸上，划分都是最大程度不平衡的，那么算法的時間復雜度為：。

3.2 平均情況

    在最平衡的划分中，PARTITION得到的兩個子問題的規模都不大於n/2。算法運行時間的遞歸式為：

可以解得：

。

另外，只要是划分是常數比例的，甚至好的和差（極不平衡）的划分交替出現時，快速排序算法和全是好的划分時一樣，仍然是。

 

4.隨機化版本

    在算法中引入隨機性，使得算法對所有的輸入都能獲得較好的期望性能。

    從A[p..r]中隨機選擇一個元素作為主元。為了達到這一目的，首先將A[r]與從A[p..r]隨機選擇的元素交換。通過對序列p..r隨機抽樣保證主元素

x=A[r]是等概率從r-p+1個元素中選取的。

    下面是RANDOMIZED-PARTITION和RANDOMIZED-QUICKSORT的偽代碼：

在使用RANDOMIZED-PARTITION，輸入元素互異的情況下，快速排序算法的期望運行時間為。

 

6.代碼實現

RANDOMIZED-PARTITION：

int Partition(int data[], int length, int start, int end)
{
    if (data == NULL||length<=0||start<0||end>=length)
    {
        throw new std::exception("Invalid Parameters");
    }
    int index = RandomInRange(start, end);
    Swap(&data[index], &data[end]);

    int small = start - 1;
    for (index = start; index < end;++index)
    {
        if (data[index] < data[end])
        {
            ++small;
            if (small!=index)
            {
                Swap(&data[index], &data[small]);
            }
        }
    }
    ++small;
    Swap(&data[small], &data[end]);

    return small;
}

QUICKSORT：

void QuickSort(int data[], int length, int start, int end)
{
    if (start == end)
    {
        return;
    }
    int index = Partition(data, length, start, end);
    if (index >start)
    {
        QuickSort(data, length, start, index-1);
    }
    if (index<end)
    {
        QuickSort(data, length, index + 1, end);
    }
}