fibonacci 數列及其延展
fibonacci計算
fibonacci數列是指 0，1，1，2，3，5，8，13，21……這樣自然數序列，即從第3項開始滿足f(n)=f(n-1)+f(n-2)；
遞歸實現非常簡單：
long long fibonacci(unsigned int n) { int result[2] = {0, 1}; if (n < 2) return result[n]; return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2); }
以計算f(10)為例，必須先求得f(9)和f(8)，要計算f(9)，又必須先求得f(8)和f(7)，如下圖，可以發現存在大量重復的計算
可見，當n比較大時，遞歸的算法效率非常低，比如計算f(100)機器就已經慢的不能接受了，用非遞歸的方法可以保證每個f(k)只被計算一次
long long fibonacci2(unsigned int n) { int result[2] = {0, 1}; if (n < 2) return result[n]; unsigned k; long long m = 0; long long prev = 1; long long prev_prev = 0; for (k=2; k<=n; k++) { m = prev + prev_prev; prev_prev = prev; prev = m; } return m; }
非遞歸的時間復雜度是O(n)。
下面介紹一種使用矩陣運算的方法，推導過程如下：
下面采用二分法計算矩陣的冪，時間復雜度只要O(logn)：
void multiply(int c[2][2], int a[2][2], int b[2][2]) { int tmp[2][2]; tmp[0][0] = a[0][0]*b[0][0] + a[0][1]*b[1][0]; tmp[0][1] = a[0][0]*b[0][1] + a[0][1]*b[1][1]; tmp[1][0] = a[1][0]*b[0][0] + a[1][1]*b[1][0]; tmp[1][1] = a[1][0]*b[0][1] + a[1][1]*b[1][1]; c[0][0] = tmp[0][0]; c[0][1] = tmp[0][1]; c[1][0] = tmp[1][0]; c[1][1] = tmp[1][1]; } //二分法求矩陣冪 void matrix_pow(int a[2][2], int n) { int unit[2][2]; memcpy(unit, a, sizeof(unit)); if (n < 2) { } else if (n % 2 == 0) { multiply(a, a, a); matrix_pow(a, n/2); } else { multiply(a, a, a); matrix_pow(a, (n-1)/2); multiply(a, a, unit); } } long long fibonacci3(unsigned int n) { int result[3] = {0, 1, 1}; if (n < 3) { return result[n]; } int matrix[2][2] = {{1,1},{1,0}}; matrix_pow(matrix, n-2); return matrix[0][0] + matrix[0][1]; }
實際上，fibonacci數列有通項公式，可以直接計算第n項的值：
公式的具體推導過程參考這里。
fibonacci應用
在fibonacci數列中，當n趨向於無窮大時，前一項與后一項的比值越來越逼近黃金分割0.618，例如：
1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625，…………，55÷89=0.617977…，…………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…...
fibonacci質數的幾個結論：
- f(3)=2和f(4)=3是Fibonacci質數；
- 從f(5)=5開始，某項為Fibonacci質數當且僅當它的項數為質數；
- 第k小的Fibonacci質數是以質數數列中的第k個數為項數的Fibonacci數（f(3)和f(4)除外）；
推導過程可以看這里。
對一個fibonacci數列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89……，
而一個質數序列是2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19……，以這個質數序列作為項數，對應的fibonacci項為：
f(5)=5，f(7)=13，f(11)=89，這些也都是質數。
如何判斷一個整數是不是在fibonacci序列中
最簡單的做法是依次計算 f(1)、f(2)……、f(n)，然后跟該整數比較看是否相等。
但當該整數非常大時，這種做法效率很低，一種更簡單的方法參考這里，即一個數 N 如果滿足 5 N^2 + 4 或 5N^2 – 4 能夠開平方，則該數是fibonacci數。
一個台階總共有n級，如果一次可以跳1級，也可以跳2級。求總共有多少總跳法，並分析算法的時間復雜度。
首先我們考慮最簡單的情況。如果只有1級台階，那顯然只有一種跳法。如果有2級台階，那就有兩種跳的方法了：一種是分兩次跳，每次跳1級；另外一種就是一次跳2級。
現在我們再來討論一般情況。我們把n級台階時的跳法看成是n的函數，記為f(n)。當n>2時，第一次跳的時候就有兩種不同的選擇：一是第一次只跳1級，此時跳法數目等於后面剩下的n-1級台階的跳法數目，即為f(n-1)；另外一種選擇是第一次跳2級，此時跳法數目等於后面剩下的n-2級台階的跳法數目，即為f(n-2)。因此n級台階時的不同跳法的總數f(n)=f(n-1)+(f-2)。
我們把上面的分析用一個公式總結如下：
/ 1 n=1
f(n) = 2 n=2
\ f(n-1)+(f-2) n>2
這就是我們熟悉的Fibonacci序列。
對上面的題目再改進一下：
一個台階總共有n級，如果一次可以跳1級，也可以跳2級......它也可以跳上n級。此時該青蛙跳上一個n級的台階總共有多少種跳法？
用Fib(n)表示青蛙跳上n階台階的跳法數，設定Fib(0) = 1，
當n = 1 時，只有一種跳法，即1階跳：Fib(1) = 1;
當n = 2 時，有兩種跳的方式，一階跳和二階跳：Fib(2) = Fib(1) + Fib(0) = 2;
當n = 3 時，有三種跳的方式，第一次跳出一階后，后面還有Fib(3-1)中跳法；第一次跳出二階后，后面還有Fib(3-2)中跳法；第一次跳出三階后，后面還有Fib(3-3)中跳法，即Fib(3) = Fib(2) + Fib(1)+Fib(0)=4;
當n = n 時，共有n種跳的方式，第一次跳出一階后，后面還有Fib(n-1)中跳法； 第一次跳出二階后，后面還有Fib(n-2)中跳法..........................第一次跳出n階后，后面還有 Fib(n-n)中跳法，得到
Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2)+Fib(n-3)+..........+Fib(n-n) = Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+Fib(n-1)
那么有
Fib(n-1) = Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+Fib(n-2)
兩式相減，得到 Fib(n) - Fib(n-1) = Fib(n-1)，即 Fib(n) = 2*Fib(n-1)
現有長為144cm的鐵絲，要截成n小段(n>2)，每段的長度不小於1cm,如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則n的最大值為多少？
由於形成三角形的充要條件是任何兩邊之和大於第三邊，因此不構成三角形的條件就是任意兩邊之和不超過最大邊。截成的鐵絲最小為1，因此可以放2個1，第三條線段就是2(為了使得n最大，因此要使剩下來的鐵絲盡可能長，因此每一條線段總是前面的相鄰2段之和)，依次為：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各數之和為143，與144相差1，因此可以取最后一段為56，這時n達到最大為10。
用2X1（2行1列）的小矩形橫着或者豎着去覆蓋更大的矩形。請問用8個2X1的小矩形無重復地覆蓋一個2X8的大矩形，總共有多少種方法。
設f(8)表示覆蓋2X8大矩形的方法綜述。假設第一個小矩形是豎着去覆蓋大矩形，那么還剩下由7個2X1的小矩形組成的大矩形f(7)；假設第一個小矩形是橫着去覆蓋大矩形，那么還剩下由6個2X1的小矩形組成的大矩形f(6)。即f(8)=f(7)+f(6)。依此類推，最后f(1)=1，f(2)=2。使用計算斐波那契數列的方法計算這道題目即可求出答案。
參考文檔：
http://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/6684867