對手論證，一般用於給出問題的下界。若用$P$表示所討論的問題，$I$表示問題的輸入，$A$表示解決問題的基於比較運算的算法，$T(\,A,\,I)$表示對於輸入$I$，算法$A$的計算時間復雜性，那么函數$U(n)=min\{max\{T(A,\,I)\},\text{ for each } I\},\text{for each } A$表示問題$P$在輸入大小為$n$時在最壞情況下的最好時間下界，它是問題所固有的。
對手論證的基本思想是對每一個$A$構造一個輸入特殊的輸入$I'$，使$T(A,\,I')$盡量地大，然后在所有$A$的集合上，求$T(A,\,I')$的盡量小的下界作為$f(n)$。對手論證方法的關鍵在於有一套對於一切$A$的適用的構造符合要求的$I'$的策略，即對手策略，逐步第構造出一個輸入$I'$，使算法$A$如果想達到預期的結果，要做盡量多次的比較和判斷，從而使$T(A,\,I')$盡量大。需要注意的是，一方面對手策略需具有一致性，即不能前后矛盾，以保證$I'$的存在性；另一方面對手策略還必須對一切$A$都適用，因為我們需要在一切$A$組成的集合上求$T(A,\,I')$得下界。
1. Find $2^{nd}$ Largest Number
我們知道，找到數組中元素的最大值，需要至少進行$n-1$次比較，那么找到第二大的呢？暴力算法就是在找一次最大唄，又是$n-2$次比較，總共是$2n-3$次比較。乍看起來也不錯了，但是通過對手論證的分析，比較的總次數可以減少為$n+\lceil \log n \rceil -2$次。How to？
其實，所謂的第二大的元素，應該是在比較中僅僅輸給了最大元素，也就是說，只有跟最大的那個元素比過的敗者才有可能是。我們下面要說明的是，我們要找的第二大的元素應該是在那些跟最大元素比過的$\lceil \log n \rceil$個元素中。
在對手論證中，我們每次都是選擇兩兩配對，然后進行比較，這樣的話，每次配對完后的比較，數據規模都縮減一半，也就是說，總共經過$\lceil \log n \rceil$輪的比較，把這些輸給最大數的元素拿出來，進行一次find-Max，開銷是$O(\lceil \log n \rceil)$就可以找到第二大的啦！！
這里其實並不是嚴格的論證，只是證明了這個界是可以達到的，詳細證明請參見這兒
2. Find Max and Min
這里也能夠使用對手論證的方式得出其最少的比較次數為$\left\lceil \frac{3}{2}n \right\rceil - 2$，具體的證明同樣參見上述鏈接
下面，我們就來說說是怎么辦到的吧，首先兩兩配對，共進行$\left\lceil \frac{1}{2}n \right\rceil$次比較，將這里面的勝者和敗者分別分為兩組，再在兩組內分別挑選Max和Min，代價是$2\times (\left\lceil \frac{1}{2}n \right\rceil-1)$，這樣就可以得到Max和Min，總共的比較次數就是$\left\lceil \frac{3}{2}n \right\rceil - 2$啦。
3. Matrix Search
這個問題有一個十分美好的前提，那就是我們所給的$n\times n$矩陣是行列皆有序的，在這樣的條件下，我們要尋找某個元素$x$在不在矩陣中，通過對手論證，我們可以做到線性時間$O(n)$。
首先是一個並不高效的方法，對每一行采用二分搜索，最多搜索$n$行，所以復雜度為$O(n\log n)$
這里有一個超級機智的算法，<Step-wise線性搜索>從右上角開始，每次將搜索值$x$與右上角的值比較，如果大於右上角的值，則直接去除1行，否則，則去掉1列。如下所示，展示了在矩陣中查找$x=28$的過程
在對手論證中，我們只需要盡可能的構造一個數去查找，但是總是不滿足條件，比如找不到的情況，就能達到最壞情況，而最短時間就是采用這種<Step-wise>方法了。這種查找方式最多也就是遍歷完兩遍對角線，總共的探查次數最多為$n+n-1=2n-1$，所以復雜度為$O(n)$。
4. 25 Horses select $1^{st}, 2^{nd}, 3^{rd}$
問題描述：有25匹賽馬，一片場地只有5條賽道，現在要求你用盡可能少的比賽場次來選出最快的前三名。
首先，至少每一匹馬都有機會去跑一遍，所以至少要先比賽5場，得出總共25匹馬的5個小組排名。接着，就是把每一組的冠軍拿出來遛遛，第6場過后，我們就能選出冠軍了，同時，我們也知道這第六場中的最后兩名一定不可能是前三名了，因為他們至少都要輸給已知的3匹馬。順帶着，這兩匹不可能的賽馬所在小組里的馬廄都不可能了，想想小組第一都敗了。（咦，當年翁學姐小組第一但是沒出線就是這么一回事兒啊！！！）那么問題來了，下面只用一場比賽能夠搞定么？答案是：可以！！
我們先給出競賽的情況，
每一行上，從快到慢排序，不失一般性，小組第一的就是$X1,\ X=A,B,C,D,E$，我們假設第六場比賽$A1>B1>C1>D1>E1$，$>$表示快的比較。那么$A1$一定是冠軍！下面可能是第二、第三的只可能是$A2,\,A3,\,B1,\,B2,\,C1$這5個。為什么不可能是$C2$呢？因為$C2$至少輸給了$C1$，而$C1$又至少輸給了$A1$和$B1$，那么$C2$的最好成績也不過是第四，其他的情況也是類似的分析。
所以在這第七場，遛一遛$A2,\,A3,\,B1,\,B2,\,C1$，就有第二、第三名產生了。
<算法的Mid-Exam的三大分析方法至此完結撒花！>