一、為什么需要服從正態分布的隨機函數
一般我們經常使用的隨機數函數 Math.random() 產生的是服從均勻分布的隨機數，能夠模擬等概率出現的情況，例如 扔一個骰子，1到6點的概率應該相等，但現實生活中更多的隨機現象是符合正態分布的，例如20歲成年人的體重分布等。
假如我們在制作一個游戲，要隨機設定許許多多 NPC 的身高，如果還用Math.random()，生成從140 到 220 之間的數字，就會發現每個身高段的人數是一樣多的，這是比較無趣的，這樣的世界也與我們習慣不同，現實應該是特別高和特別矮的都很少，處於中間的人數最多，這就要求隨機函數符合正態分布。
二、正態分布復習
圖片來自：http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83
具體性質也請查閱上面鏈接，描述正態分布的主要特征是均值和方差，如上圖，最左的倒鍾形圖的均值為-2, 其余為0 ;
方差越大，鍾形越扁平，方差越小越陡;
- 密度函數圖像關於均值對稱。
- 在x=μ±σ處，曲線有拐點。
- 函數曲線下68.26%的面積在平均數左右的一個標准差σ的區間內。
- 95.44%的面積在平均數左右兩個標准差2σ的區間內。
- 99.74%的面積在平均數左右三個標准差3σ的區間內。
當均值為0， 方差為 1 時稱為標准正態分布;
三、由均勻分布經 “Box-Muller法” 轉換為正態分布
通過查閱文獻可知（請參見：http://en.wikipedia.org/wiki/Box%E2%80%93Muller_transform），有一個稱為 Box-Muller (1958) 轉換的算法能夠將兩個在區間（0,1] 的均勻分布轉化為標准正態分布，其公式為：
y1 = sqrt( - 2 ln(u) ) cos( 2 pi v )
y2 = sqrt( - 2 ln(u) ) sin( 2 pi v )
因為三角函數計算較慢，我們可以通過上述公式的一個 polar form（極坐標形式）能夠簡化計算，
算法描述如下：
function getNumberInNormalDistribution(mean,std_dev){ return mean+(randomNormalDistribution()*std_dev); } function randomNormalDistribution(){ var u=0.0, v=0.0, w=0.0, c=0.0; do{ //獲得兩個（-1,1）的獨立隨機變量 u=Math.random()*2-1.0; v=Math.random()*2-1.0; w=u*u+v*v; }while(w==0.0||w>=1.0) //這里就是 Box-Muller轉換 c=Math.sqrt((-2*Math.log(w))/w); //返回2個標准正態分布的隨機數，封裝進一個數組返回 //當然，因為這個函數運行較快，也可以扔掉一個 //return [u*c,v*c]; return u*c; }
因此，假如我們要獲得均值為180，要68.26%左右的NPC身高都在[170,190]之內，即1個標准差范圍內，因此標准差為10, 可以通過getNumberInNormalDistribution(180,10) 調用，我們實驗1000000詞，得到結果如下：
// 身高：頻率 128:1 132:1 133:1 134:1 135:1 136:2 137:4 138:8 139:11 140:14 141:19 142:28 143:41 144:54 145:80 146:133 147:153 148:235 149:333 150:429 151:598 152:764 153:1059 154:1314 155:1776 156:2290 157:2835 158:3503 159:4373 160:5513 161:6475 162:7809 163:9437 164:11189 165:13282 166:15020 167:17239 168:19215 169:21597 170:24336 171:26684 172:29000 173:31413 174:33179 175:35027 176:37084 177:38047 178:38968 179:39635 180:39700 181:39548 182:38960 183:38674 184:36948 185:35220 186:33224 187:31038 188:29198 189:26668 190:23893 191:21662 192:19476 193:16898 194:15056 195:13046 196:10971 197:9456 198:7928 199:6697 200:5370 201:4334 202:3548 203:2810 204:2330 205:1765 206:1350 207:1093 208:797 209:595 210:371 211:328 212:255 213:165 214:121 215:91 216:71 217:29 218:32 219:28 220:20 221:6 222:7 223:7 224:3 225:2 228:1
繪制成柱狀圖如下：
可見，這是有着非常明顯的正態分布圖像特征。
四、由均勻分布疊加獲得正態分布
我們需要祭出萬能的中心極限定理。
根據獨立同分布的中心極限定理：設隨機變量X1，X2，...Xn,...相互獨立，服從同一分布，且數學期望為μ，標准差為σ (σ>0)，則隨機變量之和的標准化變量:
Y=((X1+X2+...+Xn)-nμ)/(sqrt(n)*sqrt(σ)) 近似服從標准正態分布 N(0，1)
如果我們將足夠多個均勻分布隨機變量相加，相加之和將服從正態分布。但是，我們需要累加多少個均勻分布才能較好低近似正態分布呢？
由於 X~U(0, 1) , 可得 μ=1/2， σ=sqrt(1/12)，代入上面的式子即可近似模擬隨機變量之和的概率密度函數(p.d.f).
下圖是由2個服從 U(0，1) 分布的隨機變量相加得到的 p.d.f 圖像：
如果我們增加累加的均勻分布的數量會怎樣呢？
上圖是 n=3 時的圖像，可以看到正態分布的形狀出來了，但頂端還略為平緩。
特別低，當n=12時 (隨機變量(X1+X2+...+Xn)的均值為6，方差為1) 這時有一個很好的特點，公式 Y=((X1+X2+...+Xn)-nμ)/(sqrt(n)*sqrt(σ)) 的分母正好為1，因此簡化成了 Y=((X1+X2+...+Xn)-nμ)，非常便於編程計算，並且已經非常接近於標准正態分布，請見下圖：
也就是說均值為μ，標准差為σ 的獨立同分布變量 X1，X2, ..., Xn 的算數平均數 T=(X1+X2+ ...+ Xn)/n，當n充分大時，近似地服從均值為μ，方差為σ*σ/n 的正態分布。
最后，代碼如下：
function getNumberInNormalDistribution(mean,std_dev){ return mean+(uniform2NormalDistribution()*std_dev); } function uniform2NormalDistribution(){ var sum=0.0; for(var i=0; i<12; i++){ sum=sum+Math.random(); } return sum-6.0; }
同樣，將產生100萬個隨機數按頻率畫出直方圖如下：
如何產生服從均勻分布的隨機數呢？
請見上篇：