聲明：本文最初發表於《電腦編程技巧與維護》2006年第5期，版本所有，如蒙轉載，敬請連此聲明一起轉載，否則追究侵權責任。網上發表於戀花蝶的博客http://lanphaday.bokee.com
題目:從1億個整數數中找出最大的1萬個。
拿到這道題，馬上就會想到的方法是建立一個數組把1億個數裝起來，然后用for循環遍歷這個數組，找出最大的1萬個數來。原因很簡單，因為如果要找出最大的那個數，就是這樣解決的；而找最大的1萬個數，只是重復1萬遍而已。
template< class T > void solution_1( T BigArr[], T ResArr[] ) { for( int i = 0; i < RES_ARR_SIZE; ++i ) { int idx = i; for( int j = i+1; j < BIG_ARR_SIZE; ++j ) { if( BigArr[j] > BigArr[idx] ) idx = j; } ResArr[i] = BigArr[idx]; std::swap( BigArr[idx], BigArr[i] ); } }
設BIG_ARR_SIZE ＝ 1億，RES_ARR_SIZE = 1萬，運行以上算法已經超過40分鍾，遠遠超過我們的可接受范圍。
從上面的代碼可以看出跟SelectSort算法的核心代碼是一樣的。因為SelectSort是一個O(n^2)的算法（solution_1的時間復 雜度為O(n*m)，因為solution_1沒有將整個大數組全部排序），而我們又知道排序算法可以優化到O(nlogn)，那們是否可以從這方面入手 使用更快的排序算法如MergeSor、QuickSort呢？但這些算法都不具備從大至小選擇最大的N個數的功能，因此只有將1億個數按從大到小用 QuickSort排序，然后提取最前面的1萬個。
template< class T, class I > void solution_2( T BigArr[], T ResArr[] ) { std::sort( BigArr, BigArr + BIG_ARR_SIZE, std::greater_equal() ); memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE ); }
因為STL里的sort算法使用的是QuickSort，在這里直接拿來用了，是因為不想寫一個寫一個眾人皆知的QuickSort代碼來占篇幅（而且STL的sort高度優化、速度快）。
對solution_2進行測試，運行時間是32秒，約為solution_1的1.5%的時間，已經取得了幾何數量級的進展。
深入思考
壓抑住興奮回頭再仔細看看solution_2，你將發現一個大問題，那就是在solution_2里所有的元素都排序了！而事實上只需找出最大的1萬個即可，我們不是做了很多無用功嗎？應該怎么樣來消除這些無用功？
如果你一時沒有頭緒，那就讓我慢慢引導你。首先，發掘一個事實：如果這個大數組本身已經按從大到小有序，那么數組的前1萬個元素就是結果； 然后，可以假設這個大數組已經從大到小有序，並將前1萬個元素放到結果數組；再次，事實上這結果數組里放的未必是最大的一萬個，因此需要將前1萬個數字后 續的元素跟結果數組的最小的元素比較，如果所有后續的元素都比結果數組的最小元素還小，那結果數組就是想要的結果，如果某一后續的元素比結果數組的最小元 素大，那就用它替換結果數組里最小的數字；最后，遍歷完大數組，得到的結果數組就是想要的結果了。
template< class T > void solution_3( T BigArr[], T ResArr[] ) { //取最前面的一萬個 memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE ); //標記是否發生過交換 bool bExchanged = true; //遍歷后續的元素 for( int i = RES_ARR_SIZE; i < BIG_ARR_SIZE; ++i ) { int idx; //如果上一輪發生過交換 if( bExchanged ) { //找出ResArr中最小的元素 int j; for( idx = 0, j = 1; j < RES_ARR_SIZE; ++j ) { if( ResArr[idx] > ResArr[j] ) idx = j; } } //這個后續元素比ResArr中最小的元素大，則替換。 if( BigArr[i] > ResArr[idx] ) { bExchanged = true; ResArr[idx] = BigArr[i]; } else bExchanged = false; } }
上面的代碼使用了一個布爾變量bExchanged標記是否發生過交換，這是一個前文沒有談到的優化手段——用以標記元素交換的狀態，可以大大減少查找 ResArr中最小元素的次數。也對solution_3進行測試一下，結果用時2.0秒左右（不使用bExchanged則高達32分鍾），遠小於 solution_2的用時。
深思熟慮
在進入下一步優化之前，分析一下solution_3的成功之處。第一、solution_3的算法只遍歷大數組一次，即它是一個O(n) 的算法，而solution_1是O(n*m)的算法，solution_2是O(nlogn)的算法，可見它在本質上有着天然的優越性；第二、在 solution_3中引入了bExchanged這一標志變量，從測試數據可見引入bExchanged減少了約99.99%的時間，這是一個非常大的 成功。
上面這段話絕非僅僅說明了solution_3的優點，更重要的是把solution_3的主要矛盾擺上了桌面——為什么一個O(n)的算 法效率會跟O(n*m)的算法差不多（不使用bExchanged）？為什么使用了bExchanged能夠減少99.99%的時間？帶着這兩個問題再次 審視solution_3的代碼，發現bExchanged的引入實際上減少了如下代碼段的執行次數：
for( idx = 0, j = 1; j < RES_ARR_SIZE; ++j )
{
if( ResArr[idx] > ResArr[j] )
idx = j;
}
上面的代碼段即是查找ResArr中最小元素的算法，分析它可知這是一個O(n)的算法，到此時就水落石出了！原來雖然solution_3是一個 O(n)的算法，但因為內部使用的查找最小元素的算法也是O(n)的算法，所以就退化為O(n*m)的算法了。難怪不使用bExchanged使用的時間 跟solution_1差不多；這也從反面證明了solution_3被上面的這一代碼段導致性能退化。使用了bExchanged之后因為減少了很多查 找最小元素的代碼段執行，所以能夠節省99.99%的時間！
至此可知元凶就是查找最小元素的代碼段，但查找最小元素是必不可少的操作，在這個兩難的情況下該怎么去優化呢？答案就是保持結果數組（即ResArr）有 序，那樣的話最小的元素總是最后一個，從而省去查找最小元素的時間，解決上面的問題。但這也引入了一個新的問題：保持數組有序的插入算法的時間復雜度是 O(n)的，雖然在這個問題里插入的數次比例較小，但因為基數太大（1億），這一開銷仍然會令本方案得不償失。
難道就沒有辦法了嗎？記得小學解應用題時老師教導過我們如果解題沒有思路，那就多讀幾遍題目。再次審題，注意到題目並沒有要求找到的最大的1萬個數要有序（注4），這意味着可以通過如下算法來解決：
1) 將BigArr的前1萬個元素復制到ResArr並用QuickSort使ResArr有序，並定義變量MinElemIdx保存最小元素的索引，並定義變量ZoneBeginIdx保存可能發生交換的區域的最小索引；
2) 遍歷BigArr其它的元素，如果某一元素比ResArr最小元素小，則將ResArr中MinElemIdx指向的元素替換，如果ZoneBeginIdx == MinElemIdx則擴展ZoneBeginIdx；
3) 重新在ZoneBeginIdx至RES_ARR_SIZE元素段中尋找最小元素，並用MinElemIdx保存其它索引；
4) 重復2)直至遍歷完所有BigArr的元素。
依上算法，寫代碼如下：
template< class T, class I > void solution_4( T BigArr[], T ResArr[] ) { //取最前面的一萬個 memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE ); //排序 std::sort( ResArr, ResArr + RES_ARR_SIZE, std::greater_equal() ); //最小元素索引 unsigned int MinElemIdx = RES_ARR_SIZE - 1; //可能產生交換的區域的最小索引 unsigned int ZoneBeginIdx = MinElemIdx; //遍歷后續的元素 for( unsigned int i = RES_ARR_SIZE; i < BIG_ARR_SIZE; ++i ) { //這個后續元素比ResArr中最小的元素大，則替換。 if( BigArr[i] > ResArr[MinElemIdx] ) { ResArr[MinElemIdx] = BigArr[i]; if( MinElemIdx == ZoneBeginIdx ) --ZoneBeginIdx; //查找最小元素 unsigned int idx = ZoneBeginIdx; unsigned int j = idx + 1; for( ; j < RES_ARR_SIZE; ++j ) { if( ResArr[idx] > ResArr[j] ) idx = j; } MinElemIdx = idx; } } }
經過測試，同樣情況下solution_4用時約1.8秒，較solution_3效率略高，總算不負一番努力。
苦想冥思
這次優化從solution_4產生的輸出來入手。把solution_4的輸出寫到文件，查看后發現數組基本無序了。這說明在程序運行一 定時間后，頻繁的替換幾乎將原本有序的結果數組全部換血。結果數組被替換的元素越多，查找最小元素要遍歷的范圍就越大，當被替換的元素個數接近結果數組的 大小時，solution_4就退化成solution_3。因為solution_4很快退化也就直接導致它的效率沒有本質上的提高。
找出了原因，就應該找出一個解決的辦法。通過上面的分析，知道solution_3和solution_4最消耗時間的是查找最小元素這一 操作，將它減少（或去除）才有可能從本質上提高效率。這樣思路又回到保持結果數組有序這一條老路上來。在上一節我們談到保持數組有序的插入算法將帶來大量 的元素移動，頻繁的插入操作將使這一方法在效率上得不償失。有沒有辦法讓元素移動去掉呢？答案也是有的——那就是使用鏈表。這時新的問題又來了，鏈表因為 是非隨機存取數據結構，插入前尋找位置的算法又是O(n)的。解決新的問題的答案是使用AVL樹，但AVL樹雖然插入和查找都是O(logn)，可是需要 在插入后進行調整保持平衡，這又是一個耗費大量時間的操作。分析到現在，發現我們像進了迷宮，左沖右突都找不到突破口。
現在請靜下來想一想，如果思考結果沒有跳出上面這個怪圈，那我不幸地告訴你：你被我誤導了。這個故意的誤導是要告誡大家：進行算法優化必須 時刻保持自己頭腦清醒，否則時刻都有可能陷入這樣的迷宮當中。現在跳出這個怪圈重新思考，根據前文的分析，可知目標是減少（或去除）查找最小元素的操作次 數（或查找時間），途徑是讓ResArr保持有序，難點在於給ResArr排序太費時。反過來想一想，是否需要時刻保持ResArr有序？答案為否，因為 當查找最小元素需要遍歷的范圍較小時，速度還是很快的，這樣就犯不着在每替換一個元素的時候都排序一次，而僅需要在無序元素較多的時候適時地排序即可（即 保持查找最小元素要遍歷的范圍較小）。這個思想有用嗎？寫代碼來測試一下：
template< class T, class I > void solution_5( T BigArr[], T ResArr[] ) { //同solution_4，略 //這個后續元素比ResArr中最小的元素大，則替換。 if( BigArr[i] > ResArr[MinElemIdx] ) { ResArr[MinElemIdx] = BigArr[i]; if( MinElemIdx == ZoneBeginIdx ) --ZoneBeginIdx; //太多雜亂元素的時候排序 if( ZoneBeginIdx < 9400 ) { std::sort( ResArr, ResArr + RES_ARR_SIZE, std::greater() ); ZoneBeginIdx = MinElemIdx = RES_ARR_SIZE - 1; continue; } //同solution_4，略 }
代碼中的9400是經過試驗得出的最好數值，即在有600個元素無序的時候進行一次排序。測試的結果令人驚喜，用時僅400毫秒左右，約為solution_4的五分之一，這也證明了上述思想是正確的。
殫思極慮
腳步永遠向前，在取得solution_5這樣的成果之后，仍然有必要分析和優化它。對這一看似已經完美的算法進行下一次優化要從哪里着 手？這時候要借助於性能剖分工具了，常用的有Intel的VTune以及Microsoft Visual C++自帶的profile等。使用 MS profile對solution_5分析產生的報告如下（略去一些無關數據）：
Func Func+Child Hit
Time % Time % Count Function
---------------------------------------------------------
37.718 1.0 3835.317 99.5 1 _main (algo.obj)
111.900 2.9 3220.082 83.6 1 solution_5(int * ...
0.000 0.0 3074.063 79.8 112 _STL::sort(int *,...
……
可以發現sort函數的調用用去了將近80%的時間，這表明sort函數是問題所在，優化應該從這里着手。但正如前文所說，STL的sort已經高度優化 速度很快了，再對他作優化是極難的；而且sort函數里又調用了其它STL內部函數，如蛛絲般牽來繞去，讀得懂已經不是一般人可完成的了，優化從何談起？
我們不能左右天氣，但我們可以左右心情；我們不能修改sort函數，但我們可以控制sort的調用。再看看solution_5里對sort的調用有沒有什么蛛絲馬跡可尋：
std::sort( ResArr, ResArr + RES_ARR_SIZE, std::greater() );
這個調用是把結果數組ResArr重新排序一遍。需要把整個ResArr完全重新排序嗎？答案是需要的，但可以不使用這個方法。因為ResArr里的元素 絕大部分是有序的（結合上文可知前面94%的元素都有序），待排序的只是6%。只要把這600個數據重新排序然后將前后兩個有序數組歸並為一個有序數組即 可（歸並算法的時間復雜度為O(n+m)），將因為排序的數據量較少而大大節約時間。寫代碼如下：
template< class T, class I > void solution_6( T BigArr[], T ResArr[] ) { //同solution_5，略 //太多雜亂元素的時候排序 if( ZoneBeginIdx < 9400 ) { std::sort( ResArr + 9400, ResArr + RES_ARR_SIZE, std::greater() ); std::merge(ResArr, ResArr + 9400, ResArr + 9400, ResArr + RES_ARR_SIZE, BigArr, std::greater() ); memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE ); //同solution_5，略 }
經測試，solutio_6的運行時間為250毫秒左右，比solution_5快了將近一半，通過profile分析報告計算sort函數和merge函數的占用時間總計約為執行時間的19.6%，遠小於solution_5的占用時間。
結束語
一番努力之后，終於將一個原來需要近一個小時才能解決的問題用250毫秒完成，文章到這里要完結，不過上述算法仍有可優化的余地，這就要讀 者朋友自己去挖掘了。我希望看到這篇文章的人不僅僅是贊嘆算法的奇妙，更希望能夠學會算法優化的方法和技巧。對於算法優化的方法，我總結如下（僅供參考及 拋磚引玉之用）：
不斷地否定自己的方法[全文]
減少重復計算[solution_3]；
不要做沒要求你做的事[solution_3]；
深化對需求的理解[solution_4]；
溫故而知新，多重讀自己的算法代碼[solution_4]；
從程序的輸出（或者中間結果）里找突破[solution_5]；
時刻保持頭腦清醒，常常跳出習慣的框框[solution_5]；
善於使用工具[solution_6]；
養成解決一個問題思考多個方案的習慣[全文]。
最后要講的一點就是STL里提供了一個可以直接完成這一問題的算法——nth_element。經測試，nth_element在大數組比較小的時候速度 比以上算法都要快，但在大數組尺寸為1億的時候所用的時間為1.3秒左右，是solution_6運行時間的5倍。原因在於nth_elenemt的實現 方法跟本文介紹的算法大不相同，有興趣的朋友可以去閱讀其源碼。建議大家在一般情況下使用STL的nth_element，它在數量為十萬級的時候仍有極 好的性能。
參考資料：
[1] 侯捷 《STL源碼剖析》 華中科技大學出版社 2002年6月
[2] Anany Levitin 潘彥[譯] 《算法設計與分析基礎》 清華大學出版社 2004年6月
[3] http://job.csdn.net/n/20051216/31105.html
注：
[1] 此題目版權歸出題人或者其單位所有
[2] 本文所有的優化都針對於平均情況，即大數組由隨機數構成且無序
[3] 所有測試均設BIG_ARR_SIZE = 1億，RES_ARR_SIZE = 1萬，測試的機器配置 為：CPU P4EE 3.0G + 512 M memory，HyperThreading Enabled，操作系 統：Windows 2000 pro，編譯器： MS VC++ 6.0 + sp6，STL庫： STLport 4.6.2；可從我的博客 http://lanphaday.bokee.com下載本文所有算法源碼和測試程序。
[4] 如果要求有序，可以通過先找出結果，再對結果排序完成要求。