關於大數除法

最近在九度oj上看了幾個關於大數的問題，特意在這里總結一番。

要知道我們要將一個1000多位的十進制數轉換為二進制數，是沒有哪個類型能裝得下的，所以在這里我們的手動模擬輾轉相除法。實現將一個很長的十進制數字符串轉換成二進制的字符數組。

首先我們來看看這些int，long等等的取值范圍，明白它們到底可以存多大，我們才能放心到底什么時候可以用，什么時候不可以用。

 

數據類型名稱	字節數	別名	取值范圍
int	*	signed,signed int	由操作系統決定，即與操作系統的＂字長＂有關
unsigned int	*	unsigned	由操作系統決定，即與操作系統的＂字長＂有關
__int8	1	char,signed char	–128 到 127
__int16	2	short,short int,signed short int	–32,768 到 32,767
__int32	4	signed,signed int	–2,147,483,648 到 2,147,483,647
__int64	8	無	–9,223,372,036,854,775,808 到 9,223,372,036,854,775,807
bool	1	無	false 或 true
char	1	signed char	–128 到 127
unsigned char	1	無	0 到 255
short	2	short int,signed short int	–32,768 到 32,767
unsigned short	2	unsigned short int	0 到 65,535
long	4	long int,signed long int	–2,147,483,648 到 2,147,483,647
long long	8	none (but equivalent to __int64)	–9,223,372,036,854,775,808 到 9,223,372,036,854,775,807
unsigned long	4	unsigned long int	0 到 4,294,967,295
enum	*	無	由操作系統決定，即與操作系統的＂字長＂有關
float	4	無	3.4E +/- 38 (7 digits)
double	8	無	1.7E +/- 308 (15 digits)
long double	8	無	1.7E +/- 308 (15 digits)
wchar_t	2	__wchar_t	0 到 65,535

 

 

 

類型標識符	類型說明	長度 （字節）	范圍	備注
char	字符型	1	-128 ~ 127	-27 ~ (27 -1)
unsigned char	無符字符型	1	0 ~ 255	0 ~ (28 -1)
short int	短整型	2	-32768 ~ 32767	2-15 ~ (215 - 1)
unsigned short int	無符短整型	2	0 ~ 65535	0 ~ (216 - 1)
int	整型	4	-2147483648 ~ 2147483647	-231 ~ (231 - 1)
unsigned int	無符整型	4	0 ~ 4294967295	0 ~ (232-1)
float	實型（單精度）	4	1.18*10-38 ~ 3.40*1038	7位有效位
double	實型（雙精度）	8	2.23*10-308 ~ 1.79*10308	15位有效位
long double	實型（長雙精度）	10	3.37*10-4932 ~ 1.18*104932	19位有效位

 

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具體的轉換思想（轉載）：在數據結構課關於棧的這一章中，我們都學過用“模2取余法”來將一個10進制數轉換為一個二進制數，進而可以推廣到“模n取余法”，經其轉換為n進制（n任意指定）。

確實，這是一個很基礎的題目，可你是否想過如果這個10進制數是一個大數（其位數可能上千位，此時用一般數據類型肯定是會溢出的），那么這個問題又如何來求解呢？

當然，也許你會說很簡單嘛，自己寫一個大數類（當然至少要寫一個大數除法才行），或者你用的是Java這種現代化語言，就更輕松了，直接用BigInteger這樣的大數類就可以來表示一個大數，進而用書上教的方法來實現。

但是，真的需要用到大數類嗎？事實上，“殺雞焉用牛刀“，我們在紙上模擬一番上述運算后就可以發現，只要做一些小小的改進，就可以在不使用大數的情況下，也可以通過“模n

取余”的原理來實現大數的進制轉換的。（當然，整體的思想仍然是“模n取余”原理！！！）。

舉個簡單的例子，就比如說把10進制數12轉換為2進制形式，書上的方法可以用下圖來表示

按照 “先余為低位，后余為高位“這條鐵律，其結果為1100.

這是書上教我們的常規思路（可惜按這個的話，大數是沒法考慮的，因為假如這里不是12，而是一個1000位的大數，由於是是對大數的整體進行取余運算，不使用大數類及其

除法操作，又如何得以進行呢？），可我們的目的是不使用大數類，那么現在我們就來換一個視角來看這個問題，12是一個十位數，十位上是1，個位上是2，按照我們正常的

思維來看，這個計算應該是下面這樣的：

那么我們發現在第一輪運算時，十位上的1作為被除數，2作為除數，得到的商是0，余數是1(可以斷言只考慮當前這一個數位的計算，余數或是0，或是1，若是1的話，則進

下一數位（這里即對個位進行運算）時，要用1乘上進制（這里是10）再加上下一個數位上的值（這里是2）)，即得到運算進入個位時被除數是12，除數是2，得到的商是6，

數是0。第一輪運算的結果是商是06，余數是0.

進入第二輪運算，則上一輪的商6（這里首先要去掉前面多余的0）變成本輪的被除數，如此下去，即可得到每輪的余數。

推廣開來，如果被除數是一個1000位的大數，例如“12343435154324123……342314324343”

那么我們照樣可以從第一個數位開始逐位考慮，比如第一位是1（作為被除數），2是除數，得到的商是0，余數是1，然后是第二個數位2，由於上一位留下了余數1，則此時被

除數應該是1*10+2 = 12,所以得到的商是6，余數是0，即運算到此時的商是06，然后是第三個數位3，由於上一個數位留下的余數是0，所以此時被除數就是3，。。。如此下去

就完成第一輪的運算，這一輪完畢后，需要把得到的商變成下一輪的被除數，繼續上述的運算，直到被除數為0才停止。

 

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/*題目1138：進制轉換
題目描述：
將一個長度最多為30位數字的十進制非負整數轉換為二進制數輸出。
*/
#include "stdafx.h"
#pragma warning(disable:4996)
#include <stdio.h>
#include <cstring>
#include <string>
#include <iostream>
using namespace std;
char binvec[1001];


void tenToBin(string str)  
{  
    int j=0;
    int sum=1;
    int len=str.size();

    while (sum)
    {
        sum=0;
        for (int i=0;i<len;++i)
        {
            int temp=(str[i]-'0')/2;
            sum+=temp;
            if (i==len-1)
            {
                binvec[j++]=(str[i]-'0')%2+'0';
            }else
            {
                str[i+1]=str[i+1]+(str[i]-'0')%2*10;//算出下一個被除數
            }
            //記錄該次得出的商
            str[i]=temp+'0';
        }
    }
    

} 
void resout()
{
    //逆序
    int len1=strlen(binvec);
    for (int i=0,j=len1-1;i<len1/2;++i,--j)
    {
        char temp=binvec[j];
        binvec[j]=binvec[i];
        binvec[i]=temp;
    }
    cout<<binvec<<endl;
}
int main()
{
    string str;
    while(cin>>str)
    {
        memset(binvec,'\0',sizeof(binvec));
        tenToBin(str);
        resout();
    }
    return 0;
}