http://www.baike.com/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86
http://www.cnblogs.com/hustlzp/archive/2011/09/11/the-framework-of-the-calculus.html
以直代曲，以切線代曲線。
1. 微分由求給定曲線在給定點的切線問題開始的，求切線就是求導，就是得到Δy/Δx的極端值， 算出這個商的最終比。這個最開始研究的時候需要一點點計算出來，首先需要估計出Δy的值，Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
要得到Δy/Δx的極端值，假設它有值，值等於A，那么Δy長什么樣呢？ Δy≈A×Δx，Δy=A×Δx+ο(Δx), ο(Δx)=Δy-A×Δxο(Δx)，ο(Δx)大小怎么樣呢？它應該是相對於Δy忽略不計的小，很小。伴隨着Δx，Δy越來越小，ο(Δx)應該是越來越可以忽略掉了。
ο(Δx)是相比Δx的無窮小量，二者的比值ο(Δx)/Δx會無限接近0，而不是一個絕對值大於0的數，比如ο(Δx)是這樣的(Δx)², (Δx)³, ln(Δx),
最精彩的地方是我們把ο(Δx)去掉，正如y=x²,在x=2處的切線，Δx=0.000000000000000001, Δy=4Δx+(Δx)²=0.000000000000000004000000000000000001≈0.000000000000000004, 因為0.000000000000000000000000000000000001相對於Δx或者Δy(Δy如果恆為0，在這里不適用)實在是太小了，對一座大山增刪一兩粒灰塵根本無損他的高度，灰塵相對於大山就是ο(Δx)相對於Δx。
2. 由求切線引起
若想可導，Δy得長什么樣呢？ Δy應該粗略可以表示成Δx的正比例，Δy≈A×Δx，Δy=A×Δx+ο(Δx),
或者說Δy得長什么樣，怎么猜到是Δx線性表示，可能是由大量的計算得到的經驗吧。
3. 也可能是已經有了切線了，由於數值計算的需要，要研究Δy的變化情況，再看看Δy的估計？
4. 微分是在x0點的最佳線性近似。注意，還有其他的線性近似，但是都不如微分近似程度高。哈哈哈。在近似計算的求微分的過程中，主要工作是把A×Δx獨立出來，剩下的ο(Δx)放一起。獨立出來的A×Δx部分，為了以后計算方便，把系數A整理到表里，下次再用的時候直接拿來就用，起個名字就叫微分主要系數吧。
4.1 但是如果不能做這種線性近似，也就是不可微，那就太打擊人了。而事實上呢，絕大部分的連續函數都是不可微的，但是我們平常看到的函數絕大多數是可導的，萬幸啊。
從導數到微分
和導數緊密關聯的是微分的概念。從上面的論述中我們知道，為解決 “變化率” 問題，催化了導數概念的誕生。那么又是什么樣的問題，導致了微分的誕生？
在很多具體問題中，我們 往往需要計算函數的改變量：
例如，求內半徑為 r，厚度為 
的球殼的體積，我們知道球體積公式為 
。當半徑從 r 增加到 r + 時，球的體積增加了
這里的函數 很簡單，所以求 
的表達式也不算太麻煩（三次式展開，再相減就行）。但是，有些函數非常復雜，此時求 
就不那么容易計算了。舉個例子，現有函數 
，這時候你怎么求 ？
嘿嘿，數學家們也考慮到這個問題了，有些東西硬算算不動，那就用 “近似” 唄！用一個相對簡單的式子去近似那些無法直接計算的東西，不就 OK 了嘛！（雖然近似或多或少會造成誤差，但是如果誤差極小，趨近於 0，那就無所謂了）
此時，“微分” 的概念就快要 “粉墨登場” 了！
我們還是從導數的定義式出發：
若令：
那么顯然有 
，即當 
時，
。對上式進行變形，有：
也就是說，給自變量 x 一個改變量 
時，函數 y 獲得的改變量 由兩部分組成：一部分是 
（線性部分）；另一部分就是 
（非線性部分）。
當 時，，所以 是一個比 更快地趨向於零的一個量。也就是說，當 很小時，第一部分 在 中所占的比例要比第二部分 大得多。因此，可以把第二部分忽略不計。總的來說就是：當 很小時，非線性部分會更快地趨向於 0，於是我們可以使用線性部分 來近似 。
呵呵，我們可以為這個線性部分 取一個名字 —— 微分，並用如下的符號表示：
特別地，取 y = x，則有 
，即 
（此式表明：自變量的增量等於自變量的微分），因此上式可以改寫為：
就這樣，我們從導數的概念推出了微分的概念，微分描述了 當自變量 x 的改變 dx 足夠小時，函數值 y 的改變 dy 可以用 f'(x)dx 來近似。你可能覺得，這有什么了不起的。不就是一個近似嘛。但是請仔細觀察，當 x 是某個具體值的時候，f'(x) 可是一個常數！就是說 dy 和 dx 是成正比例的！進一步，就是說在 [x, x+] 區間內（足夠小），y = f(x) 可以近似看成一條直線段！而且 越小，這種近似越精確！這樣一來，我們就可以用線性的方法來處理非線性的問題了，相當方便！
如果對上面的話還不太理解，看下面一張圖，極其經典，說明了微分的幾何意義：
P 點和 M 點都在曲線上，其橫坐標分別為 x 和 x+ 。
過 P 點做曲線切線交 OM 為 N，切線斜率即是導數 f'(x)，那么 dy = f'(x) ▪ dx 則表示線段 ON。當 時，
可以忽略不計，此時我們就可以用直線段 PN 來近似代替曲線段 PM 了。
微分學綜述
微分學，是研究函數局部特性的學科。導數和微分，是微分學中最重要的兩個概念。
我們可以求出函數的導數 f'(x)，它代表着函數在某點上因變量 y 相對於自變量 x 的變化率（從幾何上來說，即是此點的切線的斜率）；進一步，我們導出了微分的概念，它可以將復雜函數在局部范圍內近似成線性函數，斜率即為此點的導數。這種線性近似，使得對復雜函數的研究在局部上得到簡化，為后續的研究工作提供了強有力的支持。
增量無限趨近於零，割線無限趨近於切線，曲線無限趨近於直線，從而以直代曲，以線性化的方法解決非線性問題，這就是微分學理論的精髓所在。